逆矩阵与伴随矩阵
简介
学习逆矩阵和伴随矩阵的定义、性质、求法,这是矩阵理论的核心。
逆矩阵
逆矩阵是矩阵理论中的重要概念,它在解线性方程组、矩阵分解等方面有重要应用。
逆矩阵的定义
对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 阶方阵 B,使得:
AB=BA=I
则称 A 是可逆矩阵,B 称为 A 的逆矩阵,记作 A−1。
注意:
- 只有方阵才可能有逆矩阵
- 如果矩阵 A 可逆,则其逆矩阵是唯一的
- 不是所有方阵都有逆矩阵
可逆的充要条件
定理:n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 ∣A∣=0。
证明:
- 充分性:如果 ∣A∣=0,则 A−1=∣A∣1A∗
- 必要性:如果 A 可逆,则 ∣A∣⋅∣A−1∣=∣I∣=1,所以 ∣A∣=0
逆矩阵的性质
- 唯一性:如果 A 可逆,则其逆矩阵唯一
- 双重逆:(A−1)−1=A
- 乘积逆:(AB)−1=B−1A−1(如果 A,B 都可逆)
- 转置逆:(AT)−1=(A−1)T
- 数乘逆:(kA)−1=k1A−1(k=0)
逆矩阵的求法
方法 1:伴随矩阵法
公式:如果 ∣A∣=0,则:
A−1=∣A∣1A∗
其中 A∗ 是 A 的伴随矩阵。
例子:
求矩阵 A=(1324) 的逆矩阵。
解:
- ∣A∣=1×4−2×3=4−6=−2=0,所以 A 可逆
- A11=4,A12=−3,A21=−2,A22=1
- A∗=(4−3−21)
- A−1=−21(4−3−21)=(−21.51−0.5)
方法 2:初等变换法
步骤:
- 构造增广矩阵 [A∣I]
- 对增广矩阵进行初等行变换,将 A 化为单位矩阵
- 此时 I 的位置就是 A−1
例子:
用初等变换法求 A=(1324) 的逆矩阵。
解:
(1324∣∣1001)
R2−3R1:
(102−2∣∣1−301)
R2×(−21):
(1021∣∣11.50−0.5)
R1−2R2:
(1001∣∣−21.51−0.5)
所以 A−1=(−21.51−0.5)
伴随矩阵
伴随矩阵是求逆矩阵的重要工具,它提供了逆矩阵的显式公式。
伴随矩阵的定义
设 A=(aij)n×n 是 n 阶方阵,Aij 是元素 aij 的代数余子式,则称矩阵:
A∗=A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann
为 A 的伴随矩阵。
注意:伴随矩阵中第 i 行第 j 列的元素是 Aji,即代数余子式的转置。
伴随矩阵的性质
- 基本关系:AA∗=A∗A=∣A∣I
- 逆矩阵公式:如果 ∣A∣=0,则 A−1=∣A∣1A∗
- 转置性质:(A∗)T=(AT)∗
- 数乘性质:(kA)∗=kn−1A∗
伴随矩阵的计算
步骤:
- 计算每个元素的代数余子式
- 按转置位置排列
例子:
求矩阵 A=105216340 的伴随矩阵。
解:
-
计算各元素的代数余子式:
- A11=1640=−24
- A12=−0540=20
- A13=0516=−5
- A21=−2630=18
- A22=1530=−15
- A23=−1526=4
- A31=2134=5
- A32=−1034=−4
- A33=1021=1
-
按转置位置排列:
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}