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逆矩阵与伴随矩阵

简介

学习逆矩阵和伴随矩阵的定义、性质、求法,这是矩阵理论的核心。

逆矩阵

逆矩阵是矩阵理论中的重要概念,它在解线性方程组、矩阵分解等方面有重要应用。

逆矩阵的定义

对于 nn 阶方阵 AA,如果存在 nn 阶方阵 BB,使得:

AB=BA=IAB = BA = I

则称 AA可逆矩阵BB 称为 AA逆矩阵,记作 A1A^{-1}

注意

  • 只有方阵才可能有逆矩阵
  • 如果矩阵 AA 可逆,则其逆矩阵是唯一的
  • 不是所有方阵都有逆矩阵

可逆的充要条件

定理nn 阶方阵 AA 可逆的充要条件是 A0|A| \neq 0

证明

  • 充分性:如果 A0|A| \neq 0,则 A1=1AAA^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*
  • 必要性:如果 AA 可逆,则 AA1=I=1|A| \cdot |A^{-1}| = |I| = 1,所以 A0|A| \neq 0

逆矩阵的性质

  1. 唯一性:如果 AA 可逆,则其逆矩阵唯一
  2. 双重逆(A1)1=A(A^{-1})^{-1} = A
  3. 乘积逆(AB)1=B1A1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(如果 A,BA, B 都可逆)
  4. 转置逆(AT)1=(A1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
  5. 数乘逆(kA)1=1kA1(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}k0k \neq 0

逆矩阵的求法

方法 1:伴随矩阵法

公式:如果 A0|A| \neq 0,则:

A1=1AAA^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*

其中 AA^*AA 的伴随矩阵。

例子: 求矩阵 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

  1. A=1×42×3=46=20|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0,所以 AA 可逆
  2. A11=4A_{11} = 4A12=3A_{12} = -3A21=2A_{21} = -2A22=1A_{22} = 1
  3. A=(4231)A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}
  4. A1=12(4231)=(211.50.5)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

方法 2:初等变换法

步骤

  1. 构造增广矩阵 [AI][A|I]
  2. 对增广矩阵进行初等行变换,将 AA 化为单位矩阵
  3. 此时 II 的位置就是 A1A^{-1}

例子: 用初等变换法求 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

(12103401)\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 3 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}

R23R1R_2 - 3R_1(12100231)\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & -2 & | & -3 & 1 \end{pmatrix}

R2×(12)R_2 \times (-\frac{1}{2})(1210011.50.5)\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

R12R2R_1 - 2R_2(1021011.50.5)\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & -2 & 1 \\ 0 & 1 & | & 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

所以 A1=(211.50.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

伴随矩阵

伴随矩阵是求逆矩阵的重要工具,它提供了逆矩阵的显式公式。

伴随矩阵的定义

A=(aij)n×nA = (a_{ij})_{n \times n}nn 阶方阵,AijA_{ij} 是元素 aija_{ij} 的代数余子式,则称矩阵:

A=(A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn)A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}

AA伴随矩阵

注意:伴随矩阵中第 ii 行第 jj 列的元素是 AjiA_{ji},即代数余子式的转置。

伴随矩阵的性质

  1. 基本关系AA=AA=AIAA^* = A^*A = |A|I
  2. 逆矩阵公式:如果 A0|A| \neq 0,则 A1=1AAA^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*
  3. 转置性质(A)T=(AT)(A^*)^T = (A^T)^*
  4. 数乘性质(kA)=kn1A(kA)^* = k^{n-1}A^*

伴随矩阵的计算

步骤

  1. 计算每个元素的代数余子式
  2. 按转置位置排列

例子: 求矩阵 A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} 的伴随矩阵。

  1. 计算各元素的代数余子式:

    • A11=1460=24A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24
    • A12=0450=20A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20
    • A13=0156=5A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5
    • A21=2360=18A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18
    • A22=1350=15A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15
    • A23=1256=4A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4
    • A31=2314=5A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5
    • A32=1304=4A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4
    • A33=1201=1A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1
  2. 按转置位置排列: \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}