矩阵综合练习题(下)
简介
矩阵章节的综合练习题,涵盖所有重要知识点(下半部分)
练习题
练习 9
求矩阵 的秩。
参考答案
解题思路: 通过初等变换化为行阶梯形,计算非零行数。
详细步骤:
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:
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非零行有 2 行,所以 。
答案:
练习 10
求矩阵 的秩。
参考答案
解题思路: 通过初等变换化为行阶梯形,计算非零行数。
详细步骤:
:
:
:
非零行有 2 行,所以 。
答案:
练习 11
判断矩阵 和 是否等价。
参考答案
解题思路: 计算两个矩阵的秩,判断是否相等。
详细步骤:
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,,所以
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,,所以
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两个矩阵的秩相等,因此等价。
答案: 与 等价
练习 12
计算分块矩阵 的行列式,其中 都是可逆矩阵。
参考答案
解题思路: 利用分块矩阵的行列式性质。
详细步骤:
对于分块矩阵 ,其中 ,所以:
答案:
练习 13
解矩阵方程 ,其中:
参考答案
解题思路: 先求 ,再计算 。
详细步骤:
答案:
练习 14
解线性方程组:
参考答案
解题思路: 将方程组写成矩阵形式,用逆矩阵求解。
详细步骤:
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将方程组写成矩阵形式:,其中:
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答案:,
练习 15
证明:如果 是 阶方阵,且 ,则 的秩等于 的迹。
参考答案
解题思路: 利用幂等矩阵的性质和秩的性质。
详细步骤:
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因为 ,所以 是幂等矩阵
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对于幂等矩阵,有 r(A) = \text{tr}(A)
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这是因为幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1,且特征值的个数等于矩阵的秩
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而矩阵的迹等于特征值之和,所以 r(A) = \text{tr}(A)
答案:证明完成