矩阵综合练习题（上）

解题思路： 使用矩阵加法定义，对应元素相加。

详细步骤：

$A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+1 & 3+0 \\ 4+1 & 5+2 & 6+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

答案：$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

解题思路： 先计算数乘，再进行减法运算。

详细步骤：

$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad 3B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

答案：$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用矩阵乘法定义，验证矩阵乘法不满足交换律。

详细步骤：

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

答案：$AB = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$，$BA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

注意：$AB \neq BA$，验证了矩阵乘法不满足交换律。

解题思路： 将矩阵的行列互换。

详细步骤：

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

答案：$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

解题思路： 先计算行列式，再求逆矩阵。

详细步骤：

1. $|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0$，可逆

2. 计算代数余子式：

   • $A_{11} = 4$，$A_{12} = -3$
   • $A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$

3. $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

4. $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

答案：$A$ 可逆，$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用伴随矩阵法求逆矩阵。

详细步骤：

1. $|A| = 1 \neq 0$，可逆

2. 计算代数余子式：

   • $A_{11} = 1$，$A_{12} = 0$，$A_{13} = 0$
   • $A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$，$A_{23} = 0$
   • $A_{31} = 1$，$A_{32} = -2$，$A_{33} = 1$

3. $A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

答案：$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

解题思路： 使用初等行变换法求逆矩阵。

详细步骤：

1. 构造增广矩阵：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. $R_1 \leftrightarrow R_2$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 2 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. $R_2 - 2R_1$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 0 & -1 & | & 1 & -2 \end{pmatrix}$

4. $R_2 \times (-1)$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & -1 & 2 \end{pmatrix}$

5. $R_1 - R_2$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 & -1 \\ 0 & 1 & | & -1 & 2 \end{pmatrix}$

答案：$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

解题思路： 计算各元素的代数余子式。

详细步骤：

1. 计算代数余子式：

   • $A_{11} = 4$，$A_{12} = -3$
   • $A_{21} = -2$，$A_{22} = 1$

2. 按转置位置排列：$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

答案：$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$