矩阵综合练习题（上）

简介

矩阵章节的综合练习题，涵盖所有重要知识点（上半部分）

练习题

练习 1

计算 $A + B$ ，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路：使用矩阵加法定义，对应元素相加。

详细步骤：

$A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+1 & 3+0 \\ 4+1 & 5+2 & 6+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

答案： $A + B = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$

练习 2

计算 $2A - 3B$ ，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路：先计算数乘，再进行减法运算。

详细步骤：

$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad 3B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

答案： $2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$

练习 3

计算 $AB$ 和 $BA$ ，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路：使用矩阵乘法定义，验证矩阵乘法不满足交换律。

详细步骤：

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

答案： $AB = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ， $BA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

注意： $AB \neq BA$ ，验证了矩阵乘法不满足交换律。

练习 4

计算 $A^T$ ，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

参考答案

解题思路：将矩阵的行列互换。

详细步骤：

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

答案： $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

练习 5

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 是否可逆，若可逆求其逆矩阵。

参考答案

解题思路：先计算行列式，再求逆矩阵。

详细步骤：

$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0$ ，可逆
计算代数余子式：
- $A_{11} = 4$ ， $A_{12} = -3$
- $A_{21} = -2$ ， $A_{22} = 1$
$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

答案： $A$ 可逆， $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

练习 6

用伴随矩阵法求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

参考答案

解题思路：使用伴随矩阵法求逆矩阵。

详细步骤：

$|A| = 1 \neq 0$ ，可逆
计算代数余子式：
- $A_{11} = 1$ ， $A_{12} = 0$ ， $A_{13} = 0$
- $A_{21} = -2$ ， $A_{22} = 1$ ， $A_{23} = 0$
- $A_{31} = 1$ ， $A_{32} = -2$ ， $A_{33} = 1$
$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

答案： $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

练习 7

用初等行变换法求 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

参考答案

解题思路：使用初等行变换法求逆矩阵。

详细步骤：

构造增广矩阵： $\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$R_1 \leftrightarrow R_2$ ： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 2 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$R_2 - 2R_1$ ： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 0 & -1 & | & 1 & -2 \end{pmatrix}$
$R_2 \times (-1)$ ： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & -1 & 2 \end{pmatrix}$
$R_1 - R_2$ ： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 & -1 \\ 0 & 1 & | & -1 & 2 \end{pmatrix}$

答案： $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

练习 8

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的伴随矩阵。

参考答案

解题思路：计算各元素的代数余子式。

详细步骤：

计算代数余子式：
- $A_{11} = 4$ ， $A_{12} = -3$
- $A_{21} = -2$ ， $A_{22} = 1$
按转置位置排列： $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

答案： $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$