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线性代数

应用与练习

分块矩阵的逆

分块对角矩阵

定理：如果 A=(A100A2)A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}，且 A1,A2A_1, A_2 都可逆，则：

A−1=(A1−100A2−1)A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & 0 \\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix}

一般分块矩阵

定理：对于分块矩阵 (ABCD)\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}，如果 AA 可逆，则：

(ABCD)−1=(A−1+A−1B(D−CA−1B)−1CA−1−A−1B(D−CA−1B)−1−(D−CA−1B)−1CA−1(D−CA−1B)−1)\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}

逆矩阵的应用

解线性方程组

方法：对于线性方程组 AX=BAX = B，如果 AA 可逆，则：

X=A−1BX = A^{-1}B

例子： 解方程组 {x+2y=53x+4y=7\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 7 \end{cases}

解：

  1. A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}，b=(57)b = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}
  2. A−1=(−211.5−0.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}
  3. x=A−1b=(−211.5−0.5)(57)=(−34)x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}
  4. 所以 x=−3x = -3，y=4y = 4

矩阵方程

方法：对于矩阵方程 AX=BAX = B，如果 AA 可逆，则：

X=A−1BX = A^{-1}B

例子： 解矩阵方程 AX=BAX = B，其中： A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}，B=(5678)B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}

解：

  1. A−1=(−211.5−0.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}
  2. X=A−1B=(−211.5−0.5)(5678)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
  3. =(−3−445)= \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}

练习题

练习 1

判断矩阵 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 是否可逆，若可逆求其逆矩阵。

参考答案

解题思路： 先计算行列式，再求逆矩阵。

详细步骤：

  1. ∣A∣=1×4−2×3=4−6=−2≠0|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0，所以 AA 可逆

  2. A11=4A_{11} = 4，A12=−3A_{12} = -3，A21=−2A_{21} = -2，A22=1A_{22} = 1

  3. A∗=(4−2−31)A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

  4. A−1=1−2(4−2−31)=(−211.5−0.5)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

答案：AA 可逆，A−1=(−211.5−0.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}。

练习 2

用初等变换法求矩阵 A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

参考答案

解题思路： 使用初等变换法。

详细步骤：

  1. 构造增广矩阵：(21∣1013∣01)\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 3 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. 交换两行：(13∣0121∣10)\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 0 & 1 \\ 2 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}

  3. 将第一行的-2 倍加到第二行：(13∣010−5∣1−2)\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 0 & 1 \\ 0 & -5 & | & 1 & -2 \end{pmatrix}

  4. 将第二行乘以 −15-\frac{1}{5}：(13∣0101∣−1525)\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}

  5. 将第二行的-3 倍加到第一行：(10∣35−1501∣−1525)\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}

答案：A−1=(35−15−1525)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}。

练习 3

求矩阵 A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} 的伴随矩阵。

参考答案

解题思路： 计算各元素的代数余子式。

详细步骤：

  1. 计算各元素的代数余子式：

    • A11=∣1460∣=−24A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24
    • A12=−∣0450∣=20A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20
    • A13=∣0156∣=−5A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5
    • A21=−∣2360∣=18A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18
    • A22=∣1350∣=−15A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15
    • A23=−∣1256∣=4A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4
    • A31=∣2314∣=5A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5
    • A32=−∣1304∣=−4A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4
    • A33=∣1201∣=1A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1

  2. 按转置位置排列： \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}

答案：\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}。

练习 4

解矩阵方程 AX=BAX = B，其中： A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}，B=(57)B = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}

参考答案

解题思路： 先求 A−1A^{-1}，再计算 X=A−1BX = A^{-1}B。

详细步骤：

  1. A−1=(−211.5−0.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

  2. X=A−1B=(−211.5−0.5)(57)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}

  3. =(−34)= \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

答案：X=(−34)X = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}。

练习 5

证明：如果 AA 是可逆矩阵，则 (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。

参考答案

解题思路： 利用逆矩阵的定义和转置性质。

详细步骤：

  1. 因为 AA 可逆，所以 AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I

  2. 取转置：(AA−1)T=IT=I(AA^{-1})^T = I^T = I

  3. 利用转置性质：(AA−1)T=(A−1)TAT=I(AA^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T = I

  4. 同理：(A−1A)T=AT(A−1)T=I(A^{-1}A)^T = A^T(A^{-1})^T = I

  5. 所以 (A−1)T(A^{-1})^T 是 ATA^T 的逆矩阵

答案：证明完成。

提示：逆矩阵和伴随矩阵是矩阵理论中的重要概念，要熟练掌握它们的定义、性质和计算方法。

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