应用与练习
简介
学习分块矩阵的逆矩阵求法,并通过实例和练习巩固解矩阵方程的能力。
分块矩阵的逆
分块对角矩阵
定理:如果 A=(A100A2),且 A1,A2 都可逆,则:
A−1=(A1−100A2−1)
一般分块矩阵
定理:对于分块矩阵 (ACBD),如果 A 可逆,则:
(ACBD)−1=(A−1+A−1B(D−CA−1B)−1CA−1−(D−CA−1B)−1CA−1−A−1B(D−CA−1B)−1(D−CA−1B)−1)
逆矩阵的应用
解线性方程组
方法:对于线性方程组 AX=B,如果 A 可逆,则:
X=A−1B
例子:
解方程组 {x+2y=53x+4y=7
解:
- A=(1324),b=(57)
- A−1=(−21.51−0.5)
- x=A−1b=(−21.51−0.5)(57)=(−34)
- 所以 x=−3,y=4
矩阵方程
方法:对于矩阵方程 AX=B,如果 A 可逆,则:
X=A−1B
例子:
解矩阵方程 AX=B,其中:
A=(1324),B=(5768)
解:
- A−1=(−21.51−0.5)
- X=A−1B=(−21.51−0.5)(5768)
- =(−34−45)
练习题
练习 1
判断矩阵 A=(1324) 是否可逆,若可逆求其逆矩阵。
参考答案
解题思路:
先计算行列式,再求逆矩阵。
详细步骤:
-
∣A∣=1×4−2×3=4−6=−2=0,所以 A 可逆
-
A11=4,A12=−3,A21=−2,A22=1
-
A∗=(4−3−21)
-
A−1=−21(4−3−21)=(−21.51−0.5)
答案:A 可逆,A−1=(−21.51−0.5)。
练习 2
用初等变换法求矩阵 A=(2113) 的逆矩阵。
参考答案
解题思路:
使用初等变换法。
详细步骤:
-
构造增广矩阵:(2113∣∣1001)
-
交换两行:(1231∣∣0110)
-
将第一行的-2 倍加到第二行:(103−5∣∣011−2)
-
将第二行乘以 −51:(1031∣∣0−51152)
-
将第二行的-3 倍加到第一行:(1001∣∣53−51−5152)
答案:A−1=(53−51−5152)。
练习 3
求矩阵 A=105216340 的伴随矩阵。
参考答案
解题思路:
计算各元素的代数余子式。
详细步骤:
-
计算各元素的代数余子式:
- A11=1640=−24
- A12=−0540=20
- A13=0516=−5
- A21=−2630=18
- A22=1530=−15
- A23=−1526=4
- A31=2134=5
- A32=−1034=−4
- A33=1021=1
-
按转置位置排列:
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}
答案:\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}。
练习 4
解矩阵方程 AX=B,其中:
A=(1324),B=(57)
参考答案
解题思路:
先求 A−1,再计算 X=A−1B。
详细步骤:
-
A−1=(−21.51−0.5)
-
X=A−1B=(−21.51−0.5)(57)
-
=(−34)
答案:X=(−34)。
练习 5
证明:如果 A 是可逆矩阵,则 (AT)−1=(A−1)T。
参考答案
解题思路:
利用逆矩阵的定义和转置性质。
详细步骤:
-
因为 A 可逆,所以 AA−1=A−1A=I
-
取转置:(AA−1)T=IT=I
-
利用转置性质:(AA−1)T=(A−1)TAT=I
-
同理:(A−1A)T=AT(A−1)T=I
-
所以 (A−1)T 是 AT 的逆矩阵
答案:证明完成。
提示:逆矩阵和伴随矩阵是矩阵理论中的重要概念,要熟练掌握它们的定义、性质和计算方法。