logo
导航

应用与练习

简介

学习分块矩阵的逆矩阵求法,并通过实例和练习巩固解矩阵方程的能力。

分块矩阵的逆

分块对角矩阵

定理:如果 A=(A100A2)A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix},且 A1,A2A_1, A_2 都可逆,则:

A1=(A1100A21)A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & 0 \\ 0 & A_2^{-1} \end{pmatrix}

一般分块矩阵

定理:对于分块矩阵 (ABCD)\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix},如果 AA 可逆,则:

(ABCD)1=(A1+A1B(DCA1B)1CA1A1B(DCA1B)1(DCA1B)1CA1(DCA1B)1)\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}

逆矩阵的应用

解线性方程组

方法:对于线性方程组 AX=BAX = B,如果 AA 可逆,则:

X=A1BX = A^{-1}B

例子: 解方程组 {x+2y=53x+4y=7\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 7 \end{cases}

  1. A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}b=(57)b = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}
  2. A1=(211.50.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}
  3. x=A1b=(211.50.5)(57)=(34)x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}
  4. 所以 x=3x = -3y=4y = 4

矩阵方程

方法:对于矩阵方程 AX=BAX = B,如果 AA 可逆,则:

X=A1BX = A^{-1}B

例子: 解矩阵方程 AX=BAX = B,其中: A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}B=(5678)B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}

  1. A1=(211.50.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}
  2. X=A1B=(211.50.5)(5678)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
  3. =(3445)= \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}

练习题

练习 1

判断矩阵 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 是否可逆,若可逆求其逆矩阵。

参考答案

解题思路: 先计算行列式,再求逆矩阵。

详细步骤

  1. A=1×42×3=46=20|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0,所以 AA 可逆

  2. A11=4A_{11} = 4A12=3A_{12} = -3A21=2A_{21} = -2A22=1A_{22} = 1

  3. A=(4231)A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

  4. A1=12(4231)=(211.50.5)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

答案AA 可逆,A1=(211.50.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

练习 2

用初等变换法求矩阵 A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

参考答案

解题思路: 使用初等变换法。

详细步骤

  1. 构造增广矩阵:(21101301)\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 3 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}

  2. 交换两行:(13012110)\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 0 & 1 \\ 2 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}

  3. 将第一行的-2 倍加到第二行:(13010512)\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 0 & 1 \\ 0 & -5 & | & 1 & -2 \end{pmatrix}

  4. 将第二行乘以 15-\frac{1}{5}(1301011525)\begin{pmatrix} 1 & 3 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}

  5. 将第二行的-3 倍加到第一行:(103515011525)\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}

答案A1=(35151525)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}

练习 3

求矩阵 A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} 的伴随矩阵。

参考答案

解题思路: 计算各元素的代数余子式。

详细步骤

  1. 计算各元素的代数余子式:

    • A11=1460=24A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24
    • A12=0450=20A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20
    • A13=0156=5A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5
    • A21=2360=18A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18
    • A22=1350=15A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15
    • A23=1256=4A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4
    • A31=2314=5A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5
    • A32=1304=4A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4
    • A33=1201=1A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1
  2. 按转置位置排列: \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}

答案\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}

练习 4

解矩阵方程 AX=BAX = B,其中: A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}B=(57)B = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}

参考答案

解题思路: 先求 A1A^{-1},再计算 X=A1BX = A^{-1}B

详细步骤

  1. A1=(211.50.5)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}

  2. X=A1B=(211.50.5)(57)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}

  3. =(34)= \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

答案X=(34)X = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

练习 5

证明:如果 AA 是可逆矩阵,则 (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T

参考答案

解题思路: 利用逆矩阵的定义和转置性质。

详细步骤

  1. 因为 AA 可逆,所以 AA1=A1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I

  2. 取转置:(AA1)T=IT=I(AA^{-1})^T = I^T = I

  3. 利用转置性质:(AA1)T=(A1)TAT=I(AA^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T = I

  4. 同理:(A1A)T=AT(A1)T=I(A^{-1}A)^T = A^T(A^{-1})^T = I

  5. 所以 (A1)T(A^{-1})^TATA^T 的逆矩阵

答案:证明完成。


提示:逆矩阵和伴随矩阵是矩阵理论中的重要概念,要熟练掌握它们的定义、性质和计算方法。