零点定理

零点定理是介值定理的特例，它说明连续函数在端点异号时必有零点。

定理内容

零点定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

几何意义

零点定理的几何意义是：如果连续函数在区间端点的函数值异号，则函数图像必定与 $x$ 轴相交。

证明思路

1. 利用介值定理：零点定理是介值定理的特例（$C = 0$）
2. 直接证明：构造区间套，利用连续性
3. 利用最值定理：通过最值定理证明零点存在

应用例子

例子 1：多项式方程

问题：证明方程 $x^2 - 2 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = x^2 - 2$
• $f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 2 > 0$
• 函数在 $[1, 2]$ 上连续
• $f(1) \cdot f(2) = (-1) \times 2 = -2 < 0$
• 根据零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$

例子 2：超越方程

问题：证明方程 $\cos x = x$ 在 $(0, 1)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = \cos x - x$
• $f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$
• $f(1) = \cos 1 - 1 \approx 0.54 - 1 = -0.46 < 0$
• 函数在 $[0, 1]$ 上连续
• $f(0) \cdot f(1) < 0$
• 根据零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f(\xi) = 0$

注意事项

1. 端点异号条件

零点定理要求 $f(a) \cdot f(b) < 0$，即端点函数值异号。

反例：

• $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续
• $f(0) = 0$，$f(1) = 1 > 0$
• 虽然函数在 $[0, 1]$ 上有零点，但不满足零点定理的条件

2. 闭区间连续

函数必须在闭区间上连续。

3. 零点可能不唯一

零点定理只保证至少存在一个零点，可能有多个零点。

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练习题

练习 1

设 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，且 $f(0) = -1, f(2) = 3$，证明 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一点 $x_0$ 使 $f(x_0) = 0$。

参考答案

解题思路：利用零点定理。

详细步骤：

1. 函数 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续
2. $f(0) = -1 < 0$，$f(2) = 3 > 0$
3. $f(0) \cdot f(2) = (-1) \times 3 = -3 < 0$
4. 根据零点定理，存在 $x_0 \in (0, 2)$ 使 $f(x_0) = 0$

答案：存在 $x_0 \in (0, 2)$ 使 $f(x_0) = 0$。

练习 2

证明方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。

参考答案

解题思路：利用零点定理。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = x^3 - x - 1$
2. $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$
3. $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$
4. 函数在 $[1, 2]$ 上连续
5. 根据零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$

答案：方程在 $(1, 2)$ 内有解。

练习 3

设 $f(x)$ 在 $[1, 3]$ 上连续，且 $f(1) = 2, f(3) = -1$，证明 $f(x)$ 在 $(1, 3)$ 内至少有一点 $x_0$ 使 $f(x_0) = 0$。

参考答案

解题思路：利用零点定理。

详细步骤：

1. $f(x)$ 在 $[1, 3]$ 上连续
2. $f(1) = 2 > 0$，$f(3) = -1 < 0$
3. $f(1) \cdot f(3) = 2 \times (-1) = -2 < 0$
4. 根据零点定理，存在 $x_0 \in (1, 3)$ 使 $f(x_0) = 0$

答案：存在 $x_0 \in (1, 3)$ 使 $f(x_0) = 0$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\xi$	希腊字母	Xi（克西）	中值定理或介值定理中的某一点

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
零点定理	zero point theorem	/ˈzɪərəʊ pɔɪnt ˈθɪərəm/	连续函数在端点异号时存在零点的定理
零点	zero point	/ˈzɪərəʊ pɔɪnt/	函数值为零的点
端点异号	opposite signs at endpoints	/ˈɒpəzɪt saɪnz æt ˈendpɔɪnts/	函数在区间端点处的函数值符号相反

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