连续性练习题

解题思路：检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处无定义

2. 因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：不连续，因为 $x = 0$ 处函数无定义。

解题思路：分别计算左极限、右极限和函数值，看三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$

2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2 \times 1 - 1 = 1$

3. 函数值：$f(1) = 1^2 = 1$

4. 三者相等，因此函数在 $x = 1$ 处连续

答案：在 $x = 1$ 处连续，无间断点。

解题思路：利用初等函数连续性的基本结论。

详细步骤：

1. $\sin x$ 是基本初等函数（三角函数）

2. 根据初等函数连续性定理，一切初等函数在其定义域内连续

3. $\sin x$ 的定义域是 $\mathbb{R}$

答案：在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

解题思路：计算极限并判断间断点类型。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 3$ 处无定义

2. 计算极限：$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$

3. 极限存在但不等于函数值（函数值无定义）

答案：$x = 3$ 是可去间断点。

解题思路：分别计算左右极限并比较。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$

2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$

3. 函数值：$f(0) = 0 + 1 = 1$

4. 左极限不等于右极限

答案：$x = 0$ 是跳跃间断点。

解题思路：计算左右极限并判断。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义

2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$

3. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$

4. 左右极限都不存在（为无穷大）

答案：$x = 0$ 是第二类间断点。

解题思路：分析函数的定义域，然后利用初等函数连续性。

详细步骤：

1. 函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的定义域是 $x^2 - 1 > 0$

2. 解不等式：$x^2 - 1 > 0$，得 $x < -1$ 或 $x > 1$

3. 因此定义域是 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

4. 根据初等函数连续性定理，函数在其定义域内连续

答案：函数在 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ 上连续。

解题思路：分析有理函数的定义域。

详细步骤：

1. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 的定义域是 $x - 2 \neq 0$

2. 即 $x \neq 2$，定义域是 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

3. 根据初等函数连续性定理，有理函数在其定义域内连续

答案：函数在 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ 上连续。

解题思路：分析三角函数的定义域。

详细步骤：

1. 函数 $f(x) = \tan x$ 的定义域是 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）

2. 即定义域是 $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$

3. 根据初等函数连续性定理，三角函数在其定义域内连续

答案：函数在 $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$ 上连续。

解题思路：利用零点定理。

详细步骤：

1. 函数 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续

2. $f(0) = -1 < 0$，$f(2) = 3 > 0$

3. $f(0) \cdot f(2) = (-1) \times 3 = -3 < 0$

4. 根据零点定理，存在 $x_0 \in (0, 2)$ 使 $f(x_0) = 0$

答案：存在 $x_0 \in (0, 2)$ 使 $f(x_0) = 0$。

解题思路：利用有界性定理和最值定理。

详细步骤：

1. 根据有界性定理，在闭区间上连续的函数必有界

2. 根据最值定理，在闭区间上连续的函数必能取到最大值和最小值

3. 因此 $f(x)$ 一定有界，且能取到最大值和最小值

答案：一定有界，且能取到最大值和最小值。

解题思路：利用零点定理。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = x^3 - x - 1$

2. $f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$

3. $f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0$

4. 函数在 $[1, 2]$ 上连续

5. 根据零点定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$

答案：方程在 $(1, 2)$ 内有解。

解题思路：分别计算左极限、右极限和函数值，看三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$

2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2 \times 1 - 1 = 1$

3. 函数值：$f(1) = 1^2 = 1$

4. 三者相等，因此函数在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

解题思路：计算极限并判断间断点类型。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 1$ 处无定义

2. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

3. 极限存在但不等于函数值（函数值无定义）

答案：$x = 1$ 是可去间断点。

解题思路：利用零点定理。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = \cos x - x$

2. $f(0) = \cos 0 - 0 = 1 > 0$

3. $f(1) = \cos 1 - 1 < 0$（因为 $\cos 1 < 1$）

4. 函数在 $[0, 1]$ 上连续

5. 根据零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f(\xi) = 0$

答案：方程在 $(0, 1)$ 内有解。

解题思路：分别计算左右极限和函数值。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$

2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$

3. 函数值：$f(0) = 0$

4. 左极限等于函数值，但不等于右极限

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，是跳跃间断点。

解题思路：计算左右极限并判断。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义

2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$

3. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$

4. 左右极限不相等，且右极限不存在（为无穷大）

答案：$x = 0$ 是第二类间断点。

解题思路：利用介值定理。

详细步骤：

1. 函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

2. $f(a) = f(b)$

3. 对于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意值（包括 $f(a)$ 本身），根据介值定理，存在 $c \in (a, b)$ 使 $f(c) = f(a)$

答案：存在 $c \in (a, b)$ 使 $f(c) = f(a)$。