对数函数的不连续性

对数函数是微积分中的重要函数类型，某些情况下会出现不连续性。

理解对数函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

基本性质

对数函数具有以下基本性质：

• 单调性：对数函数是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 不连续性：在某些边界点处不连续
• 反函数关系：对数函数和指数函数互为反函数

基本对数函数

自然对数函数

定义：$f(x) = \ln x$

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 图像是单调递增的对数曲线
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在 $x = 0$ 处不连续（函数无定义）

一般对数函数

定义：$f(x) = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在 $x = 0$ 处不连续（函数无定义）

对数函数的不连续点分析

不连续点：$x = 0$

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处无定义
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
• 这是一个第二类不连续点

特征：

• 函数值趋向负无穷
• 有垂直渐近线 $x = 0$
• 极限不存在（趋向无穷）

复合对数函数的不连续性

例子 1：$f(x) = \ln(x^2 - 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
• 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$
• 在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 处不连续

不连续点分析：

• 不连续点：$x = -1$ 和 $x = 1$
• 在这些点处，内函数 $x^2 - 1 = 0$
• 对数函数在 0 处无定义
• 这些是边界不连续点

例子 2：$f(x) = \ln(\cos x)$

分析：

• 内函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $\cos x > 0$
• 因此连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值
• 在 $\cos x = 0$ 的点处不连续

不连续点分析：

• 不连续点：$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）
• 在这些点处，$\cos x = 0$
• 对数函数在 0 处无定义
• 这些是周期性的不连续点

例子 3：$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

结论：这个函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续，没有不连续点。

不连续点类型

对数函数的不连续点主要有以下几种类型：

1. 第二类不连续点：极限趋向无穷
2. 无定义点：函数在该点无定义
3. 边界不连续：在定义域边界处不连续

连续性判定

1. 基本对数函数：在 $(0, +\infty)$ 上连续
2. 复合对数函数：需要检查内函数的值域是否在 $(0, +\infty)$ 内
3. 分段对数函数：需要检查分段点处的左右极限和函数值

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：分析复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路：分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
4. 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

答案：连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$。

练习 3

判断函数 $f(x) = \ln(\cos x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路：分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $\cos x > 0$
4. 因此连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值

答案：连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值。

练习 4

判断函数 $f(x) = \ln x$ 在 $x = 0$ 处的不连续类型。

参考答案

解题思路：分析函数在该点的极限行为。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
3. 极限趋向负无穷，不存在有限极限
4. 这是一个第二类不连续点

答案：$x = 0$ 是第二类不连续点。

练习 5

判断函数 $f(x) = \ln|x|$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路：分析函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 当 $x = 0$ 时，$|x| = 0$
2. $\ln 0$ 无定义
3. 因此函数在 $x = 0$ 处无定义
4. 函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集
$\ln$	数学符号	自然对数	以 $e$ 为底的对数
$\mathbb{Z}$	数学符号	双线体 Z（Integers）	表示整数集

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
对数函数	logarithmic function	/lɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = \log_a x$ 的函数
不连续点	discontinuity point	/dɪskɒntɪˈnjuːəti pɔɪnt/	函数在该点不连续的点
第二类不连续点	discontinuity of the second kind	/dɪskɒntɪˈnjuːəti əv ðə ˈsekənd kaɪnd/	至少一个单侧极限不存在的间断点
无定义点	undefined point	/ˌʌndɪˈfaɪnd pɔɪnt/	函数在该点无定义的点
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	由多个函数复合而成的函数
连续性	continuity	/kɒntɪˈnjuːəti/	函数在某点没有跳跃或断裂的性质
边界不连续	boundary discontinuity	/ˈbaʊndəri dɪskɒntɪˈnjuːəti/	在定义域边界处的不连续

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