2015年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，二阶导函数 $f''(x)$ 的图形如图（略），则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为（ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

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拐点

答案：C。
解析：拐点为 $f''$ 异号处，图示有两处异号。

2．$y=\tfrac{1}{2}e^{2x}+(x-\tfrac{1}{3})e^x$ 是方程 $y''+ay'+by=ce^x$ 的一特解，则（ ）

(A) $a=-3,b=2,c=-1$
(B) $a=3,b=2,c=-1$
(C) $a=-3,b=2,c=1$
(D) $a=3,b=2,c=1$

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二阶常系数方程

答案：A。
解析：特征根 2 与 1，得 $a=-3,b=2$，代入求 $c=-1$。

3．若级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-1)^n$ 的（ ）

(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点

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幂级数

答案：B。
解析：收敛半径仍为 1，收敛区间 $(0,2)$，$\sqrt3$ 在内，3 在外。

4．设 $D$ 为第一象限由 $xy=1,xy=2$ 与 $y=x,y=4x$ 围成的区域，$f$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=$（ ）

(A) $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\arctan 4}d\theta\int_{\sqrt{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}}^{\sqrt{\frac{2}{\sin\theta\cos\theta}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr$
(B) 同上但无 $r$ 因子
(C) 同上但有 $r^2$ 因子
(D) 无对应正确形式

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极坐标

答案：A。
解析：极坐标 $dxdy=r\,dr\,d\theta$，$r$ 范围如式。

5．设 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\d\\d^2\end{pmatrix}$，$\varOmega=\{1,2\}$，方程组 $Ax=b$ 有无穷多解的充要条件为（ ）

(A) $a\notin\varOmega,\ d\notin\varOmega$
(B) $a\notin\varOmega,\ d\in\varOmega$
(C) $a\in\varOmega,\ d\notin\varOmega$
(D) $a\in\varOmega,\ d\in\varOmega$

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线性方程组

答案：D。
解析：$|A|=(a-1)(a-2)$，需 $a\in\{1,2\}$ 且增广矩阵同秩，要求 $d\in\{1,2\}$。

6．二次型 $f$ 在正交变换 $x=Py$ 下标准形为 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，$P=(e_1,e_2,e_3)$，若 $Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则标准形为（ ）

(A) $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$
(B) $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$
(C) $2y_1^2-y_2^2-y_3^2$
(D) $2y_1^2+y_2^2+y_3^2$

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二次型

答案：A。
解析：$Q=P\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$，交换并变号对应特征值置换。

7．若 $A,B$ 为任意随机事件，则（ ）

(A) $P(AB)\le \dfrac{P(A)+P(B)}{2}$
(B) $P(AB)\ge \dfrac{P(A)+P(B)}{2}$
(C) $P(AB)\le \sqrt{P(A)P(B)}$
(D) $P(AB)\ge \sqrt{P(A)P(B)}$

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概率不等式

答案：C。
解析：$P(AB)\le \min\{P(A),P(B)\}\le \sqrt{P(A)P(B)}$。

8．$X,Y$ 不相关，$E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3$，则 $E[X(X+Y-2)]=$（ ）

(A) -3 (B) 3 (C) -5 (D) 5

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期望

答案：D。
解析：$E(X^2)=D(X)+E(X)^2=7$，$E(XY)=E(X)E(Y)=2$，代入得 5。

二、填空题

二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

9．$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=$ ______。

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极限

答案：$-\dfrac{1}{2}$。
解析：洛必达或等价无穷小，$\ln(\cos x)\sim -\tfrac{x^2}{2}$。

10．$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right)dx=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

定积分

答案：$\dfrac{\pi^2}{4}$。
解析：奇偶分解，$\int \frac{\sin x}{1+\cos x}=0$，其余为偶函数积分。

11．若 $z(x,y)$ 由 $e^z+xyz+x+\cos x=2$ 确定，则 $dz\big|_{(0,1)}=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

全微分

答案：$-dx$。
解析：隐函数求偏导，$(x,y,z)=(0,1,0)$ 时 $z_x=-1,\ z_y=0$。

12．$\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+2y+3z)\,dV=$ ______，其中 $\Omega$ 由 $x+y+z=1$ 与三坐标平面围成。

参考答案 (1 个标签)

三重积分

答案：$\dfrac{1}{4}$。
解析：对称性 $\int x=\int y=\int z=1/24$，乘系数求和。

13．$n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&\cdots&-1\\-1&\lambda-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&\cdots&\lambda-1\end{vmatrix}=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

行列式

答案：$(\lambda-n)\lambda^{n-1}$。
解析：列相加化简，提取 $(\lambda-n)$，余下主对角为 $\lambda$。

14．设 $(X,Y)\sim N\big((1,0),\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\big)$，求 $P\{XY-Y<0\}=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

正态分布

答案：$\dfrac{1}{2}$。
解析：$XY-Y=(X-1)Y$，独立正态，分象限概率各 $\tfrac14$，和为 $\tfrac12$。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．设 $f(x)=x + a\ln(1 + x)+bx\sin x$，$g(x)=kx^3$，若 $x\to0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 等价无穷小，求 $a,b,k$。

参考答案 (2 个标签)

泰勒展开等价无穷小

答案：$a=-1,\ b=-\tfrac{1}{2},\ k=-\tfrac{1}{3}$。
解析：展开 $\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}$，$\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}$，代入 $f(x)$，令 $x,x^2$ 项系数为 0，$x^3$ 项系数为 $k$，解方程组得结果。

16．设 $f'(x)>0$，对任意 $x_0$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(x_0,f(x_0))$ 的切线与直线 $x=x_0$、$x$ 轴围成区域面积恒为 4，且 $f(0)=2$，求 $f(x)$。

参考答案 (2 个标签)

微分方程几何面积

答案：$f(x)=\dfrac{4}{x+2}$。
解析：切线与 $x$ 轴交点距为 $\tfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，面积 $\tfrac{1}{2}\tfrac{f^2(x_0)}{f'(x_0)}=4$，得 $f'(x)=\tfrac{f^2(x)}{8}$，分离变量积分并用 $f(0)=2$ 定常数。

17．区域 $D$ 由 $y=\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le1$）与坐标轴围成，求 $\iint_D x^2\,dx\,dy$。

参考答案 (2 个标签)

极坐标二重积分

答案：$\dfrac{\pi}{16}$。
解析：四分之一单位圆，极坐标 $0\le r\le1,0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$，积分为 $\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\int_0^1 r^3\,dr=\tfrac{\pi}{4}\cdot\tfrac{1}{4}$。

18．(I) 设 $u,v$ 可导，利用导数定义证明 $(uv)'=u'v+uv'$；(II) 设 $f(x)=\prod_{i=1}^n u_i(x)$，写出 $f'(x)$。

参考答案 (2 个标签)

导数乘积法则

答案：
(I) 由定义拆分极限，利用可导即连续得 $(uv)'=u'v+uv'$；
(II) $f'(x)=\sum_{k=1}^n u_1\cdots u_k'\cdots u_n$。
解析：按极限定义展开差商，归纳推广到 $n$ 个乘积。

19．数列 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$。证明： (I) $\lim_{n\to\infty}a_n$ 存在； (II) $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_n^2}$ 收敛。

参考答案 (2 个标签)

数列极限级数收敛

答案：极限存在，级数收敛。
解析：$a_n>0$ 且单调增；由 $a_{n+1}^2=a_n^2+2+\tfrac{1}{a_n^2}\le a_n^2+3$ 得上界 $\sqrt{3n}$，单调有界极限存在。又 $\tfrac{1}{a_n^2}\le \tfrac{a_{n+1}^2-a_n^2}{2}$，部分和被有界差所控，故收敛。

20．$\alpha_1=(1,0,1)^T,\ \alpha_2=(0,1,1)^T,\ \alpha_3=(1,3,5)^T$ 不能由 $\beta_1=(1,1,1)^T,\ \beta_2=(1,2,3)^T,\ \beta_3=(3,4,a)^T$ 线性表示。(I) 求 $a$；(II) 将 $\beta_i$ 用 $\alpha_i$ 表示。

参考答案 (2 个标签)

线性相关向量表示

答案：$a=5$；$\beta_1=2\alpha_1+4\alpha_2-\alpha_3$，$\beta_2=\alpha_1+2\alpha_2$，$\beta_3=5\alpha_1+10\alpha_2-2\alpha_3$。
解析：$\alpha$ 组行列式非零，故要求 $\beta$ 组相关：行列式 $a-5=0$。解 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)X=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 得系数。

21．矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-1&3&-3\\1&-2&4\end{pmatrix}$，求特征值、特征向量，并取可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 对角化。

参考答案 (2 个标签)

特征值对角化

答案：特征值 $1,2,3$；特征向量可取 $\xi_1=(1,1,1)^T,\ \xi_2=(2,1,0)^T,\ \xi_3=(3,1,-1)^T$；$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，则 $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,2,3)$。
解析：特征多项式 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$，逐一求解特征向量并组为 $P$。

22．$X$ 的密度 $f(x)=\begin{cases}2^{-x}\ln2,&x>0\\0,&x\le0\end{cases}$。独立观测直到第 2 个 $X>3$ 出现，记总次数 $Y$。(I) 求 $Y$ 分布；(II) 求 $E(Y)$。

参考答案 (2 个标签)

负二项分布数学期望

答案：(I) $P\{Y=k\}=C_{k-1}^1(\ln2)^2(1-\ln2)^{k-2}$，$k\ge2$；(II) $E(Y)=\dfrac{2}{\ln2}$。
解析：单次成功概率取 $p=\ln2$（按题设给定形式），第 2 次成功的负二项分布：$P\{Y=k\}=C_{k-1}^1p^2(1-p)^{k-2}$；期望 $E(Y)=\dfrac{2}{p}$。

23．总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本 $\overline{X},S^2$ 如题，$T=\overline{X}^2-\dfrac{1}{n}S^2$。(I) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计；(II) 当 $\mu=0,\sigma^2=1$ 时求 $D(T)$。

参考答案 (2 个标签)

无偏估计方差

答案： (I) $E(T)=\mu^2$； (II) $D(T)=\dfrac{2}{n(n-1)}$。
解析：$E(\overline{X}^2)=\tfrac{\sigma^2}{n}+\mu^2$，$E(S^2)=\sigma^2$，代入得无偏。$\mu=0,\sigma^2=1$ 时 $\overline{X}\perp S^2$，$\overline{X}^2$ 方差为 $\tfrac{2}{n^2}$，$S^2$ 方差为 $\tfrac{2}{n-1}$，叠加得 $D(T)$。

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆的周长与直径之比，用于弧度与面积计算
$\theta$	希腊字母	Theta（西塔）	极坐标角度变量
$\Omega$	数学符号	大写欧米伽	积分/几何区域
$r$	数学符号	r	极坐标径向变量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
拐点	inflection point	/ɪnˈflɛkʃən pɔɪnt/	曲线凹凸性改变的点
极坐标	polar coordinates	/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdənət/	以径向与角度描述平面点的位置
行列式	determinant	/dɪˈtɜːrmɪnənt/	矩阵的标量特征，判定可逆性等
期望	expectation	/ˌɛkspɛkˈteɪʃən/	随机变量的均值
方差	variance	/ˈvɛəriəns/	衡量随机变量离散程度

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