2018年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是（ ）

(A) $f(x)=x\sin|x|$
(B) $f(x)=x\sin x$
(C) $f(x)=\cos|x|$
(D) $f(x)=\cos\sqrt{|x|}$

参考答案 (1 个标签)

可导性

答案：D。
解析：左导与右导不等；其余在 0 处左右导相等，可导。

2．过点 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$，且与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切的平面为（ ）

(A) $z=0$ 与 $x+y-z=1$
(B) $z=0$ 与 $2x+2y-z=2$
(C) $x=y$ 与 $x+y-z=1$
(D) $x=y$ 与 $2x+2y-z=2$

参考答案 (1 个标签)

切平面

答案：B。
解析：切点分别为 $(0,0,0)$ 与 $(1,1,2)$，对应切平面 $z=0$、$2x+2y-z=2$。

3．$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n 2\cdot 3^{2n}}{(2n)!}=$（ ）

(A) $\sin1\cos1$
(B) $2\sin1\cos1$
(C) $2\sin1-2\cos1$
(D) $2\sin1-3\cos1$

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幂级数

答案：B。
解析：利用 $\cos x$ 展开，原式为 $2\cos 3=2\sin1\cos1$。

4．设 $M=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{x^2}{1+e^x}dx$，$N=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(x\sin x)^2dx$，$K=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$，则（ ）

(A) $M>N>K$
(B) $M>K>N$
(C) $K>M>N$
(D) $K>N>M$

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定积分比较

答案：C。
解析：$K=2$，估算得 $M\approx1.23$，且 $N<M$，故 $K>M>N$。

5．下列矩阵中与矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ 相似的是（ ）

(A) $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
(B) $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
(C) $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
(D) $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

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矩阵相似

答案：A。
解析：题干矩阵 $r(A-E)=2$，仅选项 A 满足相同 Jordan 结构。

6．设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为秩，$(A,B)$ 表示分块矩阵，则（ ）

(A) $r(A,AB)=r(A)$
(B) $r(A,BA)=r(A)$
(C) $r(A,B)=\max\{r(A),r(B)\}$
(D) $r(A,B)=r(A^T,B^T)$

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矩阵秩

答案：A。
解析：$AB$ 列向量由 $A$ 列生成，故列等价，秩相同。

7．设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$，且 $\int_0^{2} f(x)dx=0.6$，则 $P\{X<0\}=$（ ）

(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.5

参考答案 (1 个标签)

对称分布

答案：A。
解析：关于 $x=1$ 对称，$P(X<0)=P(X>2)=\dfrac{1-0.6}{2}=0.2$。

8．设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本 $X_1,\dots,X_n$，检验 $H_0:\mu=0,\ H_1:\mu\ne0$，则（ ）

(A) 若在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(B) 若在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$
(C) 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
(D) 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$

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假设检验

答案：D。
解析：显著性水平越小拒绝域越窄，较大水平的接受域包含较小水平的接受域。

二、填空题

二、填空题：9～12 小题，每小题 4 分，共 16 分。

9．若 $\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\!1/x^3}=e^k$，则 $k=$ ______。

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极限

答案：$\dfrac{1}{2}$。
解析：$\tan x-\sin x\sim \dfrac{x^3}{2}$，取对数化简得 $k=\tfrac12$。

10．设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，曲线 $y=f(x)$ 过 $(0,0)$ 且与 $y=2^x$ 在 $(1,2)$ 相切，则 $\displaystyle \int_0^1 x f''(x)\,dx=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

分部积分

答案：$2-2\ln 2$。
解析：由条件得 $f(0)=0,\ f(1)=2,\ f'(1)=2\ln2$，分部积分求值。

11．设 $F(x,y,z)=xy\,\mathbf{i}+yz\,\mathbf{j}+zx\,\mathbf{k}$，则 $\operatorname{rot}F\big|_{(1,1,0)}=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

向量分析

答案：$(-1,1,0)$。
解析：$\nabla\times F=(z,x,y)$，在 $(1,1,0)$ 处为 $(-1,1,0)$。

12．设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\displaystyle \oint_L xy\,ds=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

曲线积分

答案：$-\dfrac{\pi}{6}$。
解析：利用对称性与参数化计算，积分为负 $\pi/6$。

13．设二阶矩阵 $A$ 有两个不同的特征值，$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关特征向量，且满足 $A(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_2$，则 $|A|=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

特征值

答案：$-1$。
解析：由 $A(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_2$ 与特征向量线性无关，可推得特征值为 $0$ 与 $-1$，行列式为两特征值乘积。

14．设随机事件 $A,B,C$ 相互独立，$P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$，$P(AB\cup C)=\dfrac{7}{8}$，则 $P(C)=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

概率

答案：$\dfrac{1}{4}$。
解析：$P(AB)=\tfrac14$，$P(AB\cup C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=\tfrac14+p-\tfrac14p=\tfrac78$，解得 $p=\tfrac14$。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．（本题满分 10 分）求不定积分 $\displaystyle \int \frac{e^{2x}\arctan\sqrt{e^x-1}}{e^x-1}dx$。

参考答案 (1 个标签)

不定积分

答案：$(e^x+1)\arctan\sqrt{e^x-1}-\sqrt{e^x-1}+C$。
解析要点：令 $t=\sqrt{e^x-1}$，化为 $2\int\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\arctan t\,dt$，分部积分后还原。

16．（本题满分 10 分）将长为 $2l$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求最小值。

参考答案 (1 个标签)

最优化

答案：存在，最小值为 $\displaystyle \frac{l^2}{\tfrac{1}{\pi}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{\sqrt{3}}{9}}$。
解析要点：设周长分配 $2\pi r,4a,3b$，约束 $2\pi r+4a+3b=2l$，面积 $S=\pi r^2+a^2+\tfrac{\sqrt{3}}{4}b^2$，拉格朗日法求驻点得极小值。

17．（本题满分 10 分）设 $\varSigma$ 是曲面 $z=x^2+y^2$（$z\le1$）的前侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\varSigma}(x-1)^3\,dy\,dz+(y-1)^3\,dz\,dx+(z-1)\,dx\,dy$。

参考答案 (1 个标签)

曲面积分

答案：$-4\pi$。
解析要点：与平面 $z=1$ 封闭后用散度定理，计算体积分并扣除顶盖贡献，得 $I=-4\pi$。

18．（本题满分 10 分）已知微分方程 $y''-2y'+y=f(x)$：
（I）若 $f(x)=x$，求方程的通解；
（II）若 $f(x)$ 周期为 $T$，证明方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解。

参考答案 (1 个标签)

常微分方程

答案：
（I）$y=(C_1+C_2 x)e^x+x+2$。
（II）齐次解 $(C_1+C_2 x)e^x$ 非周期，故周期解唯一。
解析要点：特解取 $ax+b$；周期解唯一性由齐次解非周期性推出。

19．（本题满分 10 分）数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1>0,\ x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$。
（1）证明 $\{x_n\}$ 收敛，并求极限；
（2）计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n x_n$。

参考答案 (1 个标签)

数列极限

答案：收敛到 $0$；$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n x_n=2$。
解析要点：递推式表明单调递减有下界，极限解 $ae^a=e^a-1$ 得 $a=0$；用泰勒展开和 Stolz 定理求二次极限得 2。

20．（本题满分 11 分）设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2$，$a$ 为参数。
（I）求 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 的解；
（II）求 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的规范型。

参考答案 (1 个标签)

二次型

答案：
（I）$a\ne2$ 时唯一解 $(0,0,0)^T$；$a=2$ 时解为 $k(1,1,-1)^T$。
（II）$a\ne2$ 时正定，规范型 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$；$a=2$ 时秩 2，规范型 $y_1^2+y_2^2$。
解析要点：方程组求零空间，惯性指数由秩判定。

21．（本题满分 11 分）已知 $a$ 是常数，矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&1\\1&4&a\end{pmatrix}$ 可经初等列变换化为 $B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&a-2\end{pmatrix}$。
（I）求 $a$；（II）求满足 $AP=B$ 的可逆矩阵 $P$。

参考答案 (1 个标签)

初等变换

答案：$a=2$；$P=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$。
解析要点：行列式 $|A|=a-2$ 与秩对比得 $a=2$；追踪列变换构造 $P$。

22．（本题满分 10 分）设 $X,Y$ 独立，$P(X=1)=P(X=-1)=\tfrac12$，$Y\sim \text{Poisson}(\lambda)$，令 $Z=XY$。
（I）求 $\operatorname{Cov}(X,Z)$；
（II）求 $Z$ 的概率分布。

参考答案 (1 个标签)

随机变量

答案：
（I）$\operatorname{Cov}(X,Z)=\lambda$。
（II）$P(Z=0)=e^{-\lambda}$；$k\ne0$ 时 $P(Z=k)=\dfrac{\lambda^{|k|}e^{-\lambda}}{2|k|!}$，$k=\pm1,\pm2,\dots$。
解析要点：$E[X]=0$，$E[X^2Y]=E[Y]=\lambda$；分布由符号翻转对称得到。

23．（本题满分 11 分）设总体 $X$ 的概率密度 $f(x;\sigma)=\begin{cases}\dfrac{1}{\sigma}e^{-x/\sigma}, & x>0\\[4pt]0, & x\le0\end{cases}$，$\sigma>0$ 未知，$X_1,\dots,X_n$ 为简单随机样本，记 $\hat{\sigma}$ 为 $\sigma$ 的最大似然估计量。
（1）求 $\hat{\sigma}$；（2）求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$。

参考答案 (2 个标签)

最大似然估计指数分布

答案：$\hat{\sigma}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i=\bar X$；$E(\hat{\sigma})=\sigma$，$D(\hat{\sigma})=\dfrac{\sigma^2}{n}$。
解析要点：似然 $L(\sigma)=\sigma^{-n}\exp\!\left(-\dfrac{1}{\sigma}\sum X_i\right)$，对 $\ln L$ 求导得极值 $\hat{\sigma}=\bar X$。指数分布期望方差为 $E(X_i)=\sigma,\ D(X_i)=\sigma^2$，独立样本均值的期望方差为 $\sigma,\ \sigma^2/n$。

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