2019年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．当 $x\to0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$（ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

参考答案 (1 个标签)

无穷小阶

答案：C。
解析：$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$，故 $x-\tan x\sim -\dfrac{x^3}{3}$，与 $x^3$ 同阶。

2．设函数（题干略），则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）

(A) 可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C) 可导点，非极值点 (D) 不可导点，非极值点

参考答案 (2 个标签)

可导性极值

答案：B。
解析：$x=0$ 处不可导但取得极值。

3．设 $\{u_n\}$ 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$
(B) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$
(C) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{u_n}-\dfrac{1}{u_{n+1}}\right)$
(D) $\sum_{n=1}^{\infty} (u_{n+1}^2-u_n^2)$

参考答案 (1 个标签)

数项级数

答案：D。
解析：$(D)$ 为望远级数，部分和为 $u_{N+1}^2-u_1^2$，因 $u_n$ 有界收敛；(A) 单调有界但项不趋零发散；(B) 交错级数但项不趋零发散；(C) 单调递增使 $1/u_n$ 递减有界，差分并非必收敛。

4．设函数 $Q(x,y)=\dfrac{x}{y^2}$，如果对上半平面（$y>0$）内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 $\displaystyle \oint_C P\,dx+Q\,dy=0$，那么函数 $P(x,y)$ 可取为（ ）

(A) $y-\dfrac{x^2}{y^3}$ (B) $\dfrac{1}{y}-\dfrac{x^2}{y^3}$ (C) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}$ (D) $x-\dfrac{1}{y}$

参考答案 (1 个标签)

保守场

答案：D。
解析：要求场无旋，需满足 $P_y=Q_x=\dfrac{1}{y^2}$，积分得 $P=x-\dfrac{1}{y}+g(x)$，取 $g(x)=0$ 即可。

5．设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵，$E$ 是 3 阶单位矩阵。若 $A^2+A=2E$，且 $|A|=4$，则二次型 $x^T A x$ 的规范型为（ ）

(A) $y_1^2+y_2^2+y_3^2$ (B) $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ (C) $y_1^2-y_2^2-y_3^2$ (D) $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$

参考答案 (2 个标签)

二次型特征值

答案：C。
解析：特征值满足 $\lambda^2+\lambda-2=0$，得 $\lambda\in\{1,-2\}$，由行列式 4 知谱为 $\{1,-2,-2\}$，惯性指数为 $(1,2)$，规范型 $y_1^2-y_2^2-y_3^2$。

6．有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 $a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i\ (i=1,2,3)$ 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $A,\ \overline{A}$，则（ ）

(A) $r(A)=2,\ r(\overline{A})=3$ (B) $r(A)=2,\ r(\overline{A})=2$ (C) $r(A)=1,\ r(\overline{A})=2$ (D) $r(A)=1,\ r(\overline{A})=1$

参考答案 (1 个标签)

线性方程组

答案：A。
解析：法向量秩为 2（交线平行），增广矩阵满秩 3。

7．设 $A,B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是（ ）

(A) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (B) $P(AB)=P(A)P(B)$ (C) $P(A\overline{B})=P(\overline{A}B)$ (D) 选项略

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概率恒等

答案：C。
解析：$P(A)-P(B)=P(A\overline{B})-P(\overline{A}B)$，等概率当且仅当两差事件概率相等。

8．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，则 $P\{|X-Y|<1\}$（ ）

(A) 与 $\mu$ 无关，而与 $\sigma^2$ 有关 (B) 与 $\mu$ 有关，而与 $\sigma^2$ 无关 (C) 与 $\mu,\sigma^2$ 都有关 (D) 与 $\mu,\sigma^2$ 都无关

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正态分布

答案：A。
解析：$X-Y\sim N(0,2\sigma^2)$，概率只依赖方差，与均值无关。

二、填空题

二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

9．设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\sin y-\sin x)+xy$，则 $\dfrac{1}{\cos x}\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{1}{\cos y}\dfrac{\partial z}{\partial y}=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

偏导

答案：$\dfrac{y}{\cos x}+\dfrac{x}{\cos y}$。

10．微分方程 $2yy'-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

微分方程

答案：$\sqrt{3e^x-2}$。
解析：令 $u=y^2$，得 $u'-u=2$，解得 $u=3e^x-2$。

11．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!}$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

幂级数

答案：$x e^{x^2}$。

12．设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+4z^2=4\ (z\ge0)$ 的上侧，则 $\displaystyle \iint_{\Sigma} yz\,dzdx+2\,dxdy=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

曲面积分

答案：$\dfrac{32}{3}$。

13．设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 为 3 阶矩阵。若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$，则线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 ______。

参考答案 (1 个标签)

线性方程组

答案：$k(1,-2,1)^T,\ k\in\mathbb{R}$。

14．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$EX$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)>EX-1\}=$ ______。

参考答案 (2 个标签)

分布函数期望

答案：$\dfrac{2}{3}$。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．（本题满分 10 分）设函数 $f(u,v)$ 具有 2 阶连续偏导数，且满足 $4\dfrac{\partial^2 f}{\partial u^2}+12\dfrac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}+5\dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2}=0$，确定 $a,b$，使变换 $\begin{cases}x=au+bv\\ y=u+v\end{cases}$ 下化为 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0$。

参考答案 (1 个标签)

二阶偏微分方程

答案要点：特征方向满足 $dv/du\in\{2,\ 2/5\}$，取 $x=v-2u,\ y=u+v$，即 $a=-2,\ b=1$，可将方程化为 $f_{xy}=0$。

16．（本题满分 10 分）求曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=1$ 所围平面图形绕直线 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积。

参考答案 (1 个标签)

旋转体体积

答案：$\dfrac{16\pi}{15}$。
解析：用垫片法，$V=\pi\int_{-1}^1(1-x^2)^2dx=\dfrac{16\pi}{15}$。

17．（本题满分 10 分）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $\int_0^1 f(x)\,dx=0$，证明：
（1）存在 $\xi\in(0,1)$，使得 $f(\xi)=0$；
（2）存在 $\eta\in(0,1)$，使得 $f''(\eta)=2f'(\eta)$。

参考答案 (2 个标签)

积分平均值Rolle定理

答案要点：
（1）设 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$，$F(0)=F(1)=0$，由罗尔定理得 $\exists\,\xi:F'(\xi)=f(\xi)=0$。
（2）在 $\xi$ 两侧取对称点应用罗尔定理，或设 $G(x)=F(x)-xF(1)$，再次使用罗尔定理得到 $f''(\eta)=2f'(\eta)$。

18．（本题满分 10 分）设 $\Sigma$ 是由平面 $z=1,\ z=-1$ 及曲面 $x^2+y^2=1$ 所围成的圆柱面的外侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}(x-1)^3\,dy\,dz+(y-1)^3\,dz\,dx+(z-1)\,dx\,dy$。

参考答案 (2 个标签)

曲面积分散度定理

答案：$17\pi$。
解析：向量场 $F=((x-1)^3,(y-1)^3,(z-1))$，$\nabla\cdot F=3(x-1)^2+3(y-1)^2+1$，在圆柱体积上积分，侧壁与底盖一起用散度定理得 $I=17\pi$。

19．（本题满分 10 分）设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=1,\ x_{n+1}=\sin x_n$。
（1）证明 $\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在，并求该极限；
（2）计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{1/x_n^2}$。

参考答案 (1 个标签)

数列极限

答案：
（1）极限 $L$ 满足 $L=\sin L$，得 $L=0$。
（2）由 $\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，得极限 $e^{-1/6}$。

20．（本题满分 11 分）设矩阵 $A=\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&-1&-2\\2&-2&-1\end{pmatrix}$。
（1）求 $A$ 的特征值；
（2）求可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

参考答案 (2 个标签)

特征值对角化

答案：特征值 $\{1,1,-5\}$；可取对应正交特征向量构成的 $P$，使 $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,1,-5)$。

21．（本题满分 11 分）已知平面区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x\ge0\}$，计算二重积分 $I=\displaystyle \iint_D \dfrac{1+xy}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$。

参考答案 (1 个标签)

二重积分

答案：$\dfrac{\pi}{2}\ln 2$。
解析：极坐标 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$，对称性使交叉项为 0，径向积分得结果。

22．（本题满分 11 分）设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X\sim \text{Exp}(1)$，$P\{Y=-1\}=p,\ P\{Y=1\}=1-p\ (0<p<1)$，令 $Z=XY$。
（1）求 $Z$ 的概率密度；
（2）$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关；
（3）$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？说明理由。

参考答案 (2 个标签)

随机变量相关性

答案：
（1）$f_Z(z)=\begin{cases}p\,e^{z}, & z<0\\(1-p)\,e^{-z}, & z>0\end{cases}$。
（2）$p=\dfrac{1}{2}$ 时 $X$ 与 $Z$ 不相关。
（3）不独立，因 $Z$ 的符号由 $Y$ 决定，与 $X$ 的取值区间相关。

23．（本题满分 11 分）设总体 $X$ 的概率密度 $f(x;\sigma)=\dfrac{1}{2\sigma}e^{-|x|/\sigma}\ (x\in\mathbb{R},\ \sigma>0)$，$X_1,\dots,X_n$ 为简单随机样本，记 $\hat{\sigma}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n |X_i|$。
（1）证明 $\hat{\sigma}$ 是 $\sigma$ 的无偏估计量；
（2）求 $D(\hat{\sigma})$。

参考答案 (2 个标签)

估计量方差

答案：
（1）$|X|$ 服从参数为 $1/\sigma$ 的指数分布，$E|X|=\sigma$，故 $E\hat{\sigma}=\sigma$。
（2）$\operatorname{Var}(|X|)=\sigma^2$，样本均值方差为 $\dfrac{\sigma^2}{n}$，即 $D(\hat{\sigma})=\dfrac{\sigma^2}{n}$。

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