2017年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．若函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{ax},&x>0\\[4pt] b,&x\le0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则（ ）

(A) $ab=\dfrac{1}{2}$
(B) $ab=-\dfrac{1}{2}$
(C) $ab=0$
(D) $ab=1$

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连续性

答案：A。
解析：$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1-\cos x}{ax}=\dfrac{1}{2a}=b$，故 $ab=\tfrac12$。

2．设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则（ ）

(A) $f(1)>f(-1)$
(B) $f(1)<f(-1)$
(C) $|f(1)|>|f(-1)|$
(D) $|f(1)|<|f(-1)|$

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单调性

答案：C。
解析：$g(x)=f^2(x)$，$g'(x)=2f(x)f'(x)>0$，故 $g$ 递增，得 $f^2(1)>f^2(-1)$。

3．函数 $f(x,y,z)=x^2y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $n=(1,2,2)$ 的方向导数为（ ）

(A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 2

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方向导数

答案：D。
解析：$\nabla f(1,2,0)=(4,1,0)$，单位向量 $\frac{(1,2,2)}{3}$，点乘得 $2$。

4．甲乙赛跑，计时开始时甲领先 10 m，实线为甲速度曲线 $v_1(t)$，虚线为乙速度曲线 $v_2(t)$，三块阴影面积依次为 10、20、3，乙追上甲的时刻 $t_0$ 在（ ）

(A) $(0,10)$ (B) $(10,25)$ (C) $(25,30)$ (D) $t_0=25$

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定积分应用

答案：B。
解析：位移差 $10+\int_0^t(v_1-v_2)dt$，前 25 s 内乙多跑距离超过 10 m，追及发生于 $(10,25)$。

5．设 $\alpha$ 是 $n$ 维单位列向量，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则（ ）

(A) $E-\alpha\alpha^T$ 不可逆
(B) $E+\alpha\alpha^T$ 不可逆
(C) $E-2\alpha\alpha^T$ 不可逆
(D) $E+2\alpha\alpha^T$ 不可逆

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矩阵

答案：A。
解析：$(E-\alpha\alpha^T)\alpha=0$，有非零解，行列式为 0，不可逆。

6．设 $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$，则（ ）

(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似
(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似
(D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似

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矩阵相似

答案：B。
解析：A、C 同特征值且可对角化，B 特征值 2 的特征子空间维数为 1 不可对角化。

7．设 $A,B$ 为随机事件，$P(A)>0,P(B)>0$，则 $P(A\mid B)=P(A)$ 的充要条件是（ ）

(A) $P(B\mid A)=P(B)$
(B) $P(A\mid \overline{B})=P(A)$
(C) $P(B\mid \overline{A})=P(B)$
(D) $P(A\mid \overline{B})=P(\overline{A})$

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独立性

答案：A。
解析：$P(A\mid B)=P(A)$ 等价于 $A,B$ 独立，亦等价于 $P(B\mid A)=P(B)$。

8．设 $X_1,\dots,X_n\ (n\ge2)$ 为来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$，下列结论中不正确的是（ ）

(A) $\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$
(B) $\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{(X_i-\overline{X})^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$
(C) $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
(D) $\dfrac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$

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抽样分布

答案：B。
解析：$\sum\frac{(X_i-\overline{X})^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，其余结论正确。

二、填空题

二、填空题：9～13 小题，每小题 4 分，共 20 分。

9．已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，则 $f^{(3)}(0)=$ ______。

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高阶导

答案：0。
解析：幂级数展开无 $x^3$ 项，系数为 0。

10．微分方程 $y''+2y'+5y=0$ 的通解为 ______。

参考答案 (1 个标签)

常微分方程

答案：$y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。
解析：特征根 $-1\pm2i$，套用共轭复根通解。

11．若曲线积分 $\displaystyle \int_L \dfrac{x\,dy-a y\,dx}{x^2+y^2}$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2>0\}$ 内与路径无关，则 $a=$ ______。

参考答案 (1 个标签)

路径无关

答案：$-1$。
解析：$P=-\dfrac{a y}{x^2+y^2},\ Q=\dfrac{x}{x^2+y^2}$，令 $P_y=Q_x$ 解得 $a=-1$。

12．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}$ 的和函数为 ______。

参考答案 (1 个标签)

幂级数

答案：$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$（$x\ne0$，$x=0$ 时为 1）。
解析：对已知级数求导得 $\frac{\sin x}{x}$，积分常数由 $x=0$ 确定。

13．设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&1\\1&4&1\end{pmatrix}$，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为线性无关列向量组，则向量组 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 的秩为 ______。

参考答案 (1 个标签)

矩阵秩

答案：2。
解析：$r(A\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=r(A)=2$。

14．设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.5\,\Phi(x)+0.5\,\Phi\!\left(\dfrac{x-4}{2}\right)$，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $E(X)=$ ______。

参考答案 (2 个标签)

期望混合分布

答案：2。
解析：混合分布期望为混合权重乘期望，$E(X)=0.5\cdot0+0.5\cdot4=2$。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。

15．设函数 $z=f(x,y)$ 具有二阶连续偏导，$x=e^u\cos v,\ y=e^u\sin v$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial u}$、$\dfrac{\partial^2 z}{\partial u\,\partial v}$。

参考答案 (1 个标签)

多元微分

答案：$\displaystyle z_u=e^u(\cos v\,f_x+\sin v\,f_y)$；
$\displaystyle z_{uv}=e^{2u}\big(\cos v\sin v\,f_{xx}+\cos^2 v\,f_{xy}-\sin^2 v\,f_{yx}-\cos v\sin v\,f_{yy}\big)+e^u(\cos v\,f_y-\sin v\,f_x)$。
解析要点：链式法则先求 $z_u$，再对 $v$ 求偏导并代入 $x_v=-e^u\sin v,\ y_v=e^u\cos v$。

16．求极限 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^x$。

参考答案 (1 个标签)

极限

答案：$e^{-1/12}$。
解析要点：取对数，泰勒展开 $\cos x$ 至 $x^4$ 项，$\ln\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)=-\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{32}+o(x^4)$，故极限指数为 $-1/12$。

17．方程 $x^3+y^3-3x+3y-2=0$ 确定的函数 $y(x)$，求其极值。

参考答案 (2 个标签)

隐函数极值

答案：极大值 $1$，极小值 $0$。
解析要点：隐式求导得 $y'=\dfrac{1-x^2}{y^2+1}$，解 $y'=0$ 得 $x=\pm1$，代入原方程得 $(1,1)$、$(-1,0)$，进一步求 $y''$ 判别极值。

18．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0)=0,\ \lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}{x}=1$。证明：
（1）$f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一实根；
（2）$f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个不同实根。

参考答案 (1 个标签)

罗尔定理

答案要点：
（1）$f'(0)=1>0$，在近零处增大，结合连续性与可能的负值，介值定理得一零点；
（2）设 $g(x)=f(x)f'(x)$，由（1）得 $g$ 在两点为 0，且存在一点 $f'(x)=0$，罗尔定理应用两次得至少两个根使 $g'=0$。

19．薄片 $S$ 为圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2x$ 割下的有限部分，密度 $\mu=9$。记交线为 $C$。
（1）求 $C$ 在 $xOy$ 面的投影方程；
（2）求 $S$ 的质量 $M$。

参考答案 (2 个标签)

曲面积分质心质量

答案：
（1）投影：$(x-1)^2+y^2=1,\ z=0$；
（2）$M=18\pi$。
解析要点：交线由 $z^2=2x$ 与 $z^2=x^2+y^2$ 得 $(x-1)^2+y^2=1$；圆锥面面积元系数 $\sqrt{2}$，面积 $\pi$，质量 $9\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\pi$。

20．设三阶矩阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 有三个不同特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2$。
（1）证明 $r(A)=2$；
（2）若 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$，求方程组 $Ax=\beta$ 的通解。

参考答案 (2 个标签)

矩阵秩线性方程组

答案：
（1）$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 相关，$|A|=0$，且仅一个特征值为 0，故秩 2；
（2）特解 $(\tfrac12,\tfrac12,0)^T$，通解 $x=(\tfrac12,\tfrac12,0)^T+k(1,2,-1)^T$。
解析要点：由关系得零空间一维，求特解后加基础解系。

21．二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3$ 在正交变换 $x=Qy$ 下标准型为 $2y_1^2+y_2^2+5y_3^2$，求一个正交矩阵 $Q$。

参考答案 (2 个标签)

二次型正交对角化

答案：可取 $Q=\begin{pmatrix}0&1&0\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}&0&\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}}&0&\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$。
解析要点：矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&2\\0&2&3\end{pmatrix}$ 特征值 $2,1,5$，对应单位特征向量组成 $Q$。

22．设 $X,Y$ 独立，$P\{X=0\}=P\{X=2\}=\tfrac12$，$Y$ 密度 $f_Y(y)=\begin{cases}\tfrac12,&0\le y\le2\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
（1）求 $P\{Y\le E(Y)\}$；（2）求 $Z=X+Y$ 的概率密度。

参考答案 (1 个标签)

随机变量

答案：
（1）$\dfrac{1}{2}$（题干给出的答案 $\tfrac{1}{9}$ 与所给密度不符，按给定密度 $E(Y)=1$，概率为 $1/2$）；
（2）$f_Z(z)=\begin{cases}\dfrac{z}{4},&0\le z<2\\[4pt]\dfrac{1}{2},&2\le z<4\\[4pt]\dfrac{4-z}{4},&4\le z\le6\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
解析要点：$E(Y)=\int_0^2 \tfrac12 y\,dy=1$，$P(Y\le1)=\tfrac12$。分布函数法：$F_Z(z)=\tfrac12 F_Y(z)+\tfrac12 F_Y(z-2)$，分段求导得密度如上。

23．设 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ 独立，记录 $Y_i=|X_i-\mu|$。
（1）求 $Y_1$ 的密度；（2）用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计；（3）求 $\sigma$ 的最大似然估计。

参考答案 (2 个标签)

抽样分布估计量

答案：
（1）$f_Y(y)=\begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-y^2/(2\sigma^2)},&y>0\\0,&y\le0\end{cases}$；
（2）矩估计 $\hat\sigma=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\cdot\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$；
（3）极大似然估计 $\hat\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i^2}$。
解析要点：$Y=|X-\mu|$ 的分布由对称性得，$E(Y)=\sigma\sqrt{2/\pi}$；似然函数对 $\sigma$ 求导得 MLE。

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