2020年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，第 1～8 题每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．$x\to0^+$ 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）

(A) $\displaystyle \int_0^x\left(e^{t^2}-1\right)dt$
(B) $\displaystyle x^2\ln\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr)$
(C) $\displaystyle \int_0^{\sin x}\sin t^2\,dt$
(D) $\displaystyle \int_0^{\arccos x}\sqrt{\sin t^2}\,dt$

参考答案 (1 个标签)

无穷小阶

答案：D。
解析：$x\to0^+$ 时，(A) 与 (C) 均为三阶无穷小，(B) 主项为 $x^{7/3}$，而 (D) 积分上限趋于常数 $\arccos 0=\pi/2$，积分值趋于常数，阶数最高，故选 D。

2．设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且 $\lim\limits_{x\to0} f(x)=0$，则（ ）

(A) 当 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
(B) 当 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0$，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
(C) 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$
(D) 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0$

参考答案 (2 个标签)

可导性极限

答案：B。
解析：$\sqrt{x^2}=|x|$。若 $f$ 可导，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)$。由已知极限为 0，得 $f'(0)=0$，故满足题意。

3．设函数 $f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0$，$n=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)_{(0,0)}$, 非零向量 $d$ 与 $n$ 重直，则（ ）

(A) $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
(B) $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln x\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
(C) $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\bigl|d\cdot(x,y,f(x,y))\bigr|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在
(D) $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{d\cdot(x,y,f(x,y))}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$

参考答案 (2 个标签)

可微方向导数

答案：A。
解析：$f$ 在 $(0,0)$ 可微且 $f(0,0)=0$，有 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to0}\frac{f(x,y)-f_x'(0,0)x-f_y'(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。
$n\cdot(x,y,f(x,y))=f_x'(0,0)x+f_y'(0,0)y-f(x,y)$，故极限为 0，选 A。

4．设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径，$r$ 是实数，则（ ）

(A) $\sum_{n=1}^\infty a_n r^n$ 发散时，$|r|\ge R$
(B) $\sum_{n=1}^\infty a_n r^n$ 发散时，$|r|\le R$
(C) $|r|\ge R$ 时，$\sum_{n=1}^\infty a_n r^n$ 发散
(D) $|r|\le R$ 时，$\sum_{n=1}^\infty a_n r^n$ 发散

参考答案 (1 个标签)

收敛半径

答案：A。
解析：幂级数在 $|x|<R$ 内收敛、$|x|>R$ 发散，故发散时必有 $|r|\ge R$。

5．若矩阵 $A$ 经初等变换化成 $B$，则（ ）

A. 存在矩阵 $P$，使得 $PA=B$
B. 存在矩阵 $P$，使得 $PB=A$
C. 存在矩阵 $P$，使得 $PB=A$
D. 方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解

参考答案 (2 个标签)

矩阵初等变换

答案：B。
解析：初等行变换等价于左乘可逆矩阵 $P$，有 $PA=B$，可写为 $A=BP^{-1}$，故存在 $P$ 使 $PB=A$。

6．已知直线 $L_1:\dfrac{x-a_2}{a_1}=\dfrac{y-b_2}{b_1}=\dfrac{z-c_2}{c_1}$ 与直线 $L_2:\dfrac{x-a_3}{a_2}=\dfrac{y-b_3}{b_2}=\dfrac{z-c_3}{c_2}$ 相交于一点，法向量 $a=\begin{pmatrix}a_i\\b_i\\c_i\end{pmatrix},\,i=1,2,3$，则（ ）

(A) $a_1$ 可由 $a_2,a_3$ 线性表示
(B) $a_2$ 可由 $a_1,a_3$ 线性表示
(C) $a_3$ 可由 $a_1,a_2$ 线性表示
(D) $a_1,a_2,a_3$ 线性无关

7．设 $A,B,C$ 为三个随机事件，且 $P(A)=P(B)=P(C)=\tfrac14$，$P(AB)=0$，$P(AC)=P(BC)=\tfrac{1}{12}$，则 $A,B,C$ 中恰有一个事件发生的概率为（ ）

(A) $\tfrac{3}{4}$
(B) $\tfrac{2}{3}$
(C) $\tfrac{1}{2}$
(D) $\tfrac{5}{12}$

参考答案 (1 个标签)

概率计算

答案：D。
解析：$P(A\bar B\bar C)=P(A)-P(AB)-P(AC)=\tfrac16$，同理三项相加得 $\tfrac{5}{12}$。

8．设 $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中 $P(X=0)=P(X=1)=\tfrac12$，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 $P\!\left\{\sum_{i=1}^{100}X_i\le55\right\}$ 的近似值为（ ）

(A) $1-\Phi(1)$
(B) $\Phi(1)$
(C) $1-\Phi(0,2)$
(D) $\Phi(0,2)$

参考答案 (1 个标签)

中心极限定理

答案：B。
解析：$E X=\tfrac12,\ D X=\tfrac14$，标准化得 $\dfrac{55-50}{\sqrt{25}}=1$，故近似为 $\Phi(1)$。

二、填空题

二、填空题：9～14 小题，每小题 2 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。

9．$\displaystyle \lim_{x\to0}\left[\frac{1}{e^x+1}-\frac{1}{\ln(1+x)}\right]=$ ____。

参考答案 (1 个标签)

极限

答案：$-1$。
解析：通分后得 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-e^x+1}{(e^x-1)\ln(1+x)}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-e^x+1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{1}{1+x}-e^x}{2x}=-1$。

10．设

$$x=\sqrt{t^2+1},\quad y=\ln(t+\sqrt{t^2+1}),$$

则 $\left.\dfrac{d^2 y}{dx^2}\right|_{t=1}=$ ____。

参考答案 (1 个标签)

二阶导数

答案：$-\sqrt{2}$。

11．若函数 $f(x)$ 满足 $f''(x)+a f'(x)+f(x)=0\ (a>0)$，且 $f(0)=m,\ f'(0)=n$，则 $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x)\,dx=$ ____。

参考答案 (1 个标签)

常系数微分方程

答案：$n+a m$。

12．设函数 $f(x,y)=\int_0^{xy} e^t\,dt$，则 $\left.\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\right|_{(1,1)}=$ ____。

参考答案 (1 个标签)

偏导数

答案：$4e$。

13．行列式 $\begin{vmatrix} a&0&-1&1\\ 0&a&1&-1\\ -1&1&a&0\\ 1&-1&0&a \end{vmatrix} =$ ____。

参考答案 (1 个标签)

行列式

答案：$a^4-4a^2$。
解析要点：行变换化为上三角，或按行展开并分块计算，结果为 $a^4-4a^2$。

14．设 $X$ 服从区间 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布，$Y=\sin X$，则 $\mathrm{Cov}(X,Y)=$ ____。

参考答案 (2 个标签)

协方差均匀分布

答案：$\dfrac{2}{\pi}$。
解析要点：密度 $f(x)=\dfrac{1}{\pi}$，$EX=0,\ EY=E(\sin X)=0$，协方差 $E(X\sin X)-E X\,E Y=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} x\sin x\,dx=\dfrac{2}{\pi}$。

三、解答题

三、解答题：15～23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题满分 10 分）求函数 $f(x,y)=x^3+8y^3-xy$ 的最大值。

参考答案 (1 个标签)

多元极值

答案：极小值 $-\,\dfrac{1}{216}$（在 $x=\tfrac16,\ y=\tfrac1{12}$ 处），其余驻点非极值。最大值不存在（无界）。
解析：求一阶、二阶导，判别 $AC-B^2$，得唯一极小值点。

16．（本题满分 10 分）计算曲线积分

$$I=\int_L \frac{4x-y}{4x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{4x^2+y^2}dy,$$

其中 $L$ 是 $x^2+y^2=2$，方向为逆时针方向。

参考答案 (2 个标签)

曲线积分格林公式

答案：$\pi$。
解析要点：取 $P=\dfrac{4x-y}{4x^2+y^2},\ Q=\dfrac{x+y}{4x^2+y^2}$，有 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{-4x^2+y^2-8xy}{(4x^2+y^2)^2}$。用格林公式在 $x^2+y^2=2$ 上计算，化简积分得 $\pi$。

17．（本题满分 10 分）设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n+1}=\left(n+\tfrac12\right)\frac{a_n}{n}$，$|x|<1$ 时幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 收敛，证明：当 $|x|<1$ 时幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 x^n$ 收敛，并求其和函数。

参考答案 (1 个标签)

幂级数

答案：$S(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1-x}}-2,\ |x|<1$。
解析要点：由递推式求 $S'(x)$ 的微分方程，解得通式，用 $S(0)=0$ 定常数。

18．（本题满分 10 分）设 $\Sigma$ 为由面 $Z:\sqrt{x^2+y^2}\left(x^2+y^2\le4\right)$ 的下侧，$f(x)$ 是连续函数，计算

$$I=\iint_\Sigma [y f(xy)+2-y]\,dz\,dx + \iint_\Sigma [y f(xy)+2-y+x]\,dz\,dx + \iint_\Sigma [2 f(xy)+2]\,dx\,dy.$$

参考答案 (1 个标签)

曲面积分

答案：$0$。
解析要点：利用方向余弦将曲面积分化为平面区域 $D$ 的二重积分，代入计算后各项相互抵消，最终结果为 $0$。

19．（本题满分 10 分）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，$f(0)=f(2)=0,\, M=\max_{y\in(0,2)}|f(x)|$，证明
(1) 存在 $\xi\in(0,2)$，使得 $|f'(\xi)|\ge M$。
(2) 若对任意 $\varepsilon\in(0,2)$，$|f'(x)|<M$，则 $M=0$。

参考答案 (2 个标签)

拉格朗日中值定理导数

答案要点：
(1) 取 $c\in(0,1]$，由拉格朗日定理得 $\exists\,\xi\in(0,c)$ 使 $f'(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}{c}= \frac{f(c)}{c}$，故 $|f'(\xi)|\ge \frac{M}{c}\ge M$。若 $c\in(1,2)$，同理 $\exists\,\xi\in(c,2)$ 使 $f'(\xi)=\frac{f(2)-f(c)}{2-c}=-\frac{f(c)}{2-c}$，亦得 $|f'(\xi)|\ge M$。
(2) 若存在 $c\in(0,1]$ 且 $M>0$，则由 (1) 推论 $M=|f(c)|=|f(c)-f(0)|=|f'(\xi)|\,c\le Mc$，只可能 $M=0$，与 $M>0$ 矛盾。同理 $c\in(1,2]$ 也得出矛盾，故必有 $M=0$。

20．设二次型 $f(x,x)=\tfrac12 x_1^2+4 x_1 x_2+4 x_2^2$ 经正交变换 $x=Q y$ 化为二次型 $g(y_1,y_2)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2$，其中 $a>b$。

(1) 求 $a,b$ 的值。
(2) 求正交矩阵 $Q$。

参考答案 (2 个标签)

二次型正交对角化

答案：$a=4,\ b=1$。正交矩阵 $Q$ 由 $A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}$ 的单位特征向量组成，使 $Q^T A Q=\operatorname{diag}(4,1)$。
解析要点：利用相似对角化 $A\sim B$，特征值求得 $a+b=1+4,\ ab=4$。

21．设 $A$ 为 2 阶矩阵，$P=(\alpha_1,A\alpha)$，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量。
(1) 证明 $P$ 为可逆矩阵；
(2) 若 $A^2\alpha+A\alpha-6\alpha=0$，求 $P^{-1}AP$，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。

参考答案 (2 个标签)

相似对角化最小多项式

答案要点：
(1) 若 $P$ 不可逆，则 $|\alpha, A\alpha|=0$，说明 $\alpha$ 与 $A\alpha$ 线性相关，$A\alpha=k\alpha$，与“$\alpha$ 不是特征向量”矛盾，故 $P$ 可逆。
(2) 由 $A^2\alpha+A\alpha-6\alpha=0$ 得 $(A^2+A-6E)\alpha=0$，可取基底 $\{\alpha, A\alpha\}$，在此基下

$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&6\\1&-1\end{pmatrix},$$

其特征值为 $2$ 与 $-3$，存在两个不同特征值，$A$ 相似于对角矩阵。

22．设随机变量 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立，其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均服从标准正态分布，$X_3$ 的概率分布为 $P(X_3=0)=\tfrac12,\ P(X_3=1)=\tfrac12$，$Y=X X_3 + (1-X_3) X_1$。
(1) 求二维随机变量 $(X_1,Y)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示。
(2) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布。

参考答案 (2 个标签)

正态分布混合分布

答案：
(1) $F_{X_1,Y}(x,y)=\dfrac12\,\Phi(x)\,\Phi(y)+\dfrac12\,\Phi\!\bigl(\min(x,y)\bigr)$。
(2) $F_Y(y)=\Phi(y)$，故 $Y\sim N(0,1)$。
解析要点：按 $X_3=0/1$ 分层：$Y=X_1$ 或 $Y=X_2$，均与 $X_1$ 独立且同分布为 $N(0,1)$，概率各占 1/2，求和得联合分布；边际对 $Y$ 结果仍为标准正态。

23．设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为

$$F(t)= \begin{cases} 1-\left(\tfrac{t}{\theta}\right)^m, & t\ge0,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

其中 $\theta,m$ 为参数且大于零。
(1) 求概率 $P\{T>t\}\le P\{T>S+t\mid T>S\}$，其中 $S>0,t>0$。
(2) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1,t_2,\ldots,t_n$，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat\theta$。

参考答案 (1 个标签)

极大似然估计

答案（2）：$\displaystyle \hat\theta=\left(\frac1n\sum_{i=1}^n t_i^{\,m}\right)^{1/m}$。
解析要点：对数似然 $\ln L=-nm\ln\theta+(m-1)\sum\ln t_i-\theta^{-m}\sum t_i^m$，求导置零得解。

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