2024年全国硕士研究生入学考试数学一真题

解题思路： 分析函数的奇偶性，利用积分函数的性质。

详细步骤：

由于 $e^{\cos t}$ 是关于 $t$ 的偶函数，所以 $\int_0^x e^{\cos t}dt$ 是关于 $x$ 的奇函数，即 $f(x)$ 是关于 $x$ 的奇函数。令 $F(x)=\int_0^x e^t dt$，则 $F(x)$ 是关于 $x$ 的奇函数，从而 $g(x)=F(\sin x^2)$ 也是关于 $x$ 的奇函数。所以选 (C)。

答案： C

解题思路： 利用曲面积分的计算公式，将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分。

详细步骤：

由于 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}=\frac{-x}{z},\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{z}$，所以 $\iint_{\Sigma} Pdy dz+Qdz dx=\iint_{\Sigma} P\cdot(-z_x)+Q\cdot(-z_y)dxdy=\iint_{\Sigma} \left(\frac{x}{z}P+\frac{y}{z}Q\right)dxdy$，所以选 (A)。

答案： A

解题思路： 利用对数函数的泰勒展开式，求幂级数的系数。

详细步骤：

由 $\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},x\in(-1,1]$ 可得

$\ln(2+x)=\ln2+\ln(1+\frac{x}{2})=\ln2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^n$

所以 $a_n=\begin{cases}\ln2, & n=0,\\ \frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot2^n}, & n\geq1\end{cases}$，从而 $a_{2n}=\frac{(-1)^{2n-1}}{2n\cdot4^n}, n\geq1$。

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} n a_{2n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n a_{2n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{4^n}=\frac{-1}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{1}{3}$

所以选 (A)。

答案： A

解题思路： 通过构造反例和利用导数的定义来判断各选项的正确性。

详细步骤：

对于选项 (A)，取 $f(x)=\begin{cases}mx, & x\neq0 \\ 1, & x=0\end{cases}$，则 $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{f(x)}{x}=m$，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，排除 (A)。

对于选项 (B)，由于 $f'(0)=m$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，故 $f(0)=\lim\limits_{x\to0} f(x)=0$，从而 $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=m$，故 (B) 正确。

对于选项 (C)，取 $f(x)=\begin{cases}mx, & x\neq0 \\ 1, & x=0\end{cases}$，则 $\lim\limits_{x\to0} f'(x)=m$，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，排除 (C)。

对于选项 (D)，取 $f(x)=\begin{cases}mx+x^2\sin\dfrac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x=0\end{cases}$，则 $f'(0)=m$，但 $\lim\limits_{x\to0} f'(x)$ 不存在，排除 (D)。故选 (B)。

答案： B

解题思路： 分析三个平面的位置关系，利用线性方程组的解的性质。

详细步骤：

由图可知，这三个平面相交于同一条直线，所以方程组

有无穷多解，所以 $r\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{pmatrix}<3$，即 $m=n<3$。又因为三个平面的法向量共面，但 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 的法向量不共线，由此可得 $r=2$，所以 $m=n=2$，选 (B)。

答案： B

解题思路： 利用向量线性相关的条件，通过行列式求解参数。

详细步骤：

由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，故 $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)<3$，故

得 $a=1$ 或 $a=-2$。当 $a=1$ 时，$\alpha_1,\alpha_3$ 线性相关，与题意矛盾，故 $a=-2$。

又由

得 $b=2$，故选 D。

答案： D

解题思路： 分析矩阵的特征值和特征向量，计算矩阵幂的迹。

详细步骤：

由 $A\alpha=0$ 且 $\alpha\neq0$，故 $\lambda_1=0$。设非零向量 $\beta_1,\beta_2$ 线性无关（因为与 $\alpha$ 垂直的平面中一定存在两个线性无关的向量）且满足 $\beta_1^T\alpha=\beta_2^T\alpha=0$，则 $A\beta_1=\beta_1,A\beta_2=\beta_2$，又由 $\beta_1,\beta_2$ 线性无关，故 $\lambda=1$ 至少为二重根，故 $\lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=1$，故 $A^3$ 的特征值为 $0,1,1$，故 $tr(A^3)=0+1+1=2$，故选 A。

答案： A

解题思路： 利用正态分布的性质和概率计算公式求解。

详细步骤：

$2X+Y\sim N(-2,10)$，$Y-X\sim N(-2,2^2)$，

所以 $P\{2X+Y<a\}=\Phi\left(\frac{a+2}{\sqrt{10}}\right)=P\{Y-X<0\}=\Phi\left(\frac{0+2}{2}\right)$。

于是 $\frac{a+2}{\sqrt{10}}=1\Rightarrow a=-2+\sqrt{10}$。

故选 B。

答案： B

解题思路： 利用条件概率密度和联合概率密度计算协方差。

详细步骤：

当 $0<x<1$ 时，$f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases}\dfrac{1}{1-x}, & x<y<1 \\ 0, & 其它\end{cases}$

$f(x,y)=\begin{cases}2, & x<y<1,0<x<1 \\ 0, & 其它\end{cases}$

$EXY=\iint xyf(x,y)dxdy=\int_0^1 dy\int_0^y 2xydx=\dfrac{1}{4}$

$EX=\int_0^1 x2(1-x)dx=\dfrac{1}{3}$

$EY=\iint yf(x,y)dxdy=\int_0^1 dy\int_0^y 2ydx=\dfrac{2}{3}$

$\mathrm{Cov}(X,Y)=EXY-EXEY=\dfrac{1}{36}$，故选 D。

答案： D

解题思路： 计算随机变量 Z 的分布函数，判断其分布类型。

详细步骤：

随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合概率密度为 $f(x,y)=\begin{cases}\lambda^2 e^{-\lambda(x+y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & 其他\end{cases}$。随机变量 $Z$ 的分布函数为 $F_Z(Z)=P(Z\leq z)=P(|X-Y|\leq z)$，

当 $z\leq0$ 时，$F_Z(Z)=0$；

当 $z>0$ 时，

$=1-e^{-\lambda z}$

不难看出，随机变量 $Z$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，选 (D)。

答案： D

答案：6

解题思路： 利用等价无穷小和极限的性质计算。

详细步骤：

由已知条件可知，

所以 $a=6$。

答案：5

解题思路： 利用多元复合函数的求导法则计算二阶导数。

详细步骤：

令 $u=\cos x,v=1+x^2$，则 $y=f(u,v)$，由多元复合函数求导法则可得，

所以

答案：$-\frac{1}{\pi}$

解题思路： 计算傅里叶余弦级数的系数，然后求极限。

详细步骤：

将函数 $f(x)$ 先进行偶延拓，再进行周期延拓，

所以 $\lim\limits_{n\to\infty} n^2\sin a_{2n-1}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{-4}{(2n-1)^2\pi}=-\frac{1}{\pi}$。

答案：$x=\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right)-y$

解题思路： 通过变量替换将微分方程转化为可分离变量的形式。

详细步骤：

令 $u=x+y$，则 $\frac{du}{dx}=1+y'$，代入方程可得，

分离变量可得，$u^2du=dx$，两边积分得，$u-\arctan u=x+C$，从而该方程的通解为 $y-\arctan(x+y)=C$。代入初始条件 $y(1)=0$，可得 $C=\frac{\pi}{4}$，所以所求特解为 $y-\arctan(x+y)=\frac{\pi}{4}$，即 $x=\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right)-y$。

答案：$a\geq0$

解题思路： 分析矩阵不等式，确定参数的范围。

详细步骤：

由矩阵乘法的结合律可得，

由

所以

所以 $\alpha^T A(\beta\alpha^T-\alpha\beta^T)A\beta=a(x_1y_2-x_2y_1)^2$。 若 $\alpha^T A(\beta\alpha^T-\alpha\beta^T)A\beta\leq0$ 恒成立，即 $-a(x_1y_2-x_2y_1)^2\leq0$ 恒成立，故 $a\geq0$。

答案：$\dfrac{2}{3}$

解题思路： 利用条件概率公式求解概率参数。

详细步骤：

记事件 $A$ 表示三次实验中至少成功一次，事件 $B$ 表示三次实验全部成功，则有

由条件概率公式可得，

解得 $p=\dfrac{2}{3}$。

答案：$\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})-2$

解题思路： 利用积分区域的对称性，将积分区域分解为简单的子区域。

详细步骤：

显然积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，不妨记区域 $D$ 位于 $x$ 轴上方部分为 $D_1$，则有

不妨记 $D_2=\{(x,y)|0\leq x\leq1,0\leq y\leq1\},D_3=\{(x,y)|x^2+y^2\leq1,x\geq0,y\geq0\}$，则有

所以

所以

答案： (1) $x+y+z=3$ (2) 最大值为 $21$，最小值为 $\frac{17}{27}$

解题思路： (1) 利用偏导数求切平面方程 (2) 利用拉格朗日乘数法求多元函数的极值

详细步骤：

(1) 由 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,1,1)}=[3x^2-2(x+y)]|_{(1,1,1)}=1$，$\frac{\partial z}{\partial y}|_{(1,1,1)}=[3y^2-2(x+y)]|_{(1,1,1)}=-1$，所以切平面 $z=z(x,y)$ 在 $(1,1,1)$ 处的法向量为 $(-1,-1,-1)$，从而切平面 $T$ 的方程为

(2) 由题意可得 $D=\{(x,y)|x\geq0,y\geq0,x+y\leq3\}$。在区域 $D$ 内部，由

得驻点为 $(0,0),(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$，易求得 $f(0,0)=3,f(\frac{4}{3},\frac{4}{3})=\frac{17}{27}$。在区域 $D$ 的边界 $y=0,0\leq x\leq3$，则有 $f(x,0)=x^3-x^2+3$，由 $\frac{df(x,0)}{dx}=3x^2-2x=0$，可得驻点为 $x=0$ 和 $x=\frac{2}{3}$，此时 $f(0,0)=3,f(\frac{2}{3},0)=\frac{77}{27}$。同理可求在 $D$ 的边界 $x=0,0\leq y\leq3$ 上的驻点为 $y=0,\frac{2}{3}$，且 $f(0,0)=3,f(0,\frac{2}{3})=\frac{77}{27}$。在 $D$ 的边界 $x+y=3,0\leq x\leq3$ 上，有 $f(x,3-x)=x^3+(3-x)^3-6x+3$，令 $\varphi(x)=x^3+(3-x)^3-6x+3$，则 $\varphi'(x)=3x^2-3(3-x)^2-6=0$，可得驻点为 $x=\frac{3}{2}$，故函数 $f(x,y)$ 在 $x+y=3$ 上的驻点为 $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，此时 $f(\frac{3}{2},\frac{3}{2})=-\frac{3}{4}$。又 $f(3,0)=f(0,3)=21$，比较可知 $f(x,y)$ 在点 $(3,0)$ 或 $(0,3)$ 取得最大值 $21$，在点 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$ 取得最小值 $\frac{17}{27}$。

解题思路： 利用泰勒公式和积分性质证明不等式。

详细步骤：

(1) 将函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处和 $x=1$ 处用泰勒公式展开可得，

注意到 $f'(0)=f'(1)$，由(1)+(2)式可得

因为 $|f''(x)|\leq1$，所以

(2) 由(1)可得

(3) 式两边在区间$[0,1]$上积分可得

即

所以

答案：$\frac{4\pi}{25}\sqrt{5}\pi$

解题思路： 利用 Stokes 公式将曲线积分转化为曲面积分。

详细步骤：

不妨记平面 $2x-z-1=0$ 被球面 $x^2+y^2+z^2=2x$ 截下的部分为曲面 $\Sigma$，方向取上侧，则曲面 $\Sigma$ 的单位法向量为 $\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1)$。

由 Stokes 公式可得：

由于曲面 $\Sigma$ 在 $xOy$ 面的投影曲线方程为 $5z-6x+y^2=-1$，从而投影区域为 $\left(\frac{x-3/5}{2/5}\right)^2+\frac{y^2}{4/5}\leq1$。该投影区域的面积为 $S=\pi\times\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{4\pi}{5\sqrt{5}}$，故 $\iint_{\Sigma} dS=\frac{S}{\cos\gamma}$，所以