2016年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x)^b}\,dx$ 收敛，则（ ）

(A) $a<1$ 且 $b>1$
(B) $a>1$ 且 $b>1$
(C) $a<1$ 且 $a+b>1$
(D) $a>1$ 且 $a+b>1$

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反常积分

答案：C。
解析：$x\to0^+$ 需 $a<1$，$x\to+\infty$ 需 $a+b>1$。

2．已知 $f(x)=\begin{cases}x,&x\le0\\x^2,&x>0\end{cases}$，则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）

(A) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2},&x\le0\\\tfrac{x^3}{3},&x>0\end{cases}$
(B) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2},&x\le0\\\tfrac{x^3}{3}+1,&x>0\end{cases}$
(C) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2}-1,&x\le0\\\tfrac{x^3}{3},&x>0\end{cases}$
(D) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2}-1,&x\le0\\\tfrac{x^3}{3}+1,&x>0\end{cases}$

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原函数

答案：A。
解析：需连续且导数分段为 $x$、$x^2$，A 满足。

3．若 $y=(1+x^2)^2-\sqrt{1+x^2}$ 与 $y=(1+x^2)^2+\sqrt{1+x^2}$ 是方程 $y'+p(x)y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$（ ）

(A) $3x(1+x^2)$
(B) $-3x(1+x^2)$
(C) $\dfrac{x}{1+x^2}$
(D) $-\dfrac{x}{1+x^2}$

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一阶线性方程

答案：A。
解析：解之差 $2\sqrt{1+x^2}$ 满足齐次方程求得 $p(x)$，代入特解求 $q(x)$。

4．已知 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 邻域连续，且 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1$，则（ ）

(A) $(0,0)$ 不是极值点
(B) $(0,0)$ 是极大值点
(C) $(0,0)$ 是极小值点
(D) 无法判断

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极值

答案：A。
解析：展开得 $f(x,y)=xy+(x^2+y^2)^2+o((x^2+y^2)^2)$，沿 $y=\pm x$ 取值异号。

5．设 $A,B$ 可逆且相似，下列错误的是（ ）

(A) $A^T$ 与 $B^T$ 相似
(B) $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
(C) $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
(D) $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似

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矩阵相似

答案：C。
解析：相似保持转置、逆及多项式关系，$A+A^T$ 不必与 $B+B^T$ 相似。

6．二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$，则 $f=2$ 表示的曲面是（ ）

(A) 椭球面 (B) 双曲面 (C) 抛物面 (D) 柱面

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二次曲面

答案：B。
解析：特征值 $5,-1,-1$，标准形 $5y_1^2-y_2^2-y_3^2=2$，双曲面。

7．设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$Y\sim N(\mu,2\sigma^2)$，且 $P\{X\le\mu-1\}=P\{Y\ge\mu+1\}$，则（ ）

(A) $\mu=1$ (B) $\mu=2$ (C) $\mu=3$ (D) $\mu=4$

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正态分布

答案：C。
解析：化为 $\Phi(1/\sigma)=\Phi(1/(\sqrt{2}\sigma))$，解得 $\mu=3$。

8．样本 $X_1,\dots,X_n$ 来自总体 $X$，统计量 $T=\tfrac{1}{n}\sum X_i^2$，$E(X)=\mu,\ D(X)=\sigma^2$，则（ ）

(A) $E(T)=\mu^2+\sigma^2$
(B) $E(T)=\mu^2$
(C) $D(T)=\dfrac{4\mu^2\sigma^2}{n}$
(D) $D(T)=\dfrac{2\sigma^4}{n}$

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数理统计

答案：A。
解析：$E(X_i^2)=\mu^2+\sigma^2$，故 $E(T)=\mu^2+\sigma^2$。

二、填空题

二、填空题：9～16 小题，每小题 4 分，共 32 分。

9．$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x} t\ln(1+t\sin t)\,dt}{1-\cos x^2}=$ ______。

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极限

答案：$\dfrac{1}{2}$。
解析：$1-\cos x^2\sim\tfrac{x^4}{2}$，积分主项 $\tfrac{x^4}{4}$，比值得 $\tfrac12$。

10．向量场 $A(x,y,z)=(x+y+z)\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}$ 的散度 $\operatorname{div}A=$ ______。

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散度

答案：$2+x$。
解析：$\partial P/\partial x=1+x,\ \partial Q/\partial y=1,\ \partial R/\partial z=0$，求和得 $2+x$。

11．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}x^n$ 的收敛域为 ______，和函数为 ______。

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幂级数

答案：收敛域 $(-\infty,+\infty)$，和函数 $x(1+x)e^x$。
解析：比值判别得 $R=\infty$，利用 $e^x$ 级数与求导组合得到和函数。

12．设 $f(x)=\arctan x-\dfrac{x}{1+ax^2}$，且 $f'''(0)=1$，则 $a=$ ______。

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泰勒展开

答案：$\dfrac{1}{2}$。
解析：展开至 $x^3$ 项，$f(x)=\tfrac{2a-1}{3}x^3+o(x^3)$，$f'''(0)=2(2a-1)=1$。

13．设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$，求 $A^{-1}=$ ______。

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逆矩阵

答案：$\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac14&-\tfrac14\\[4pt]-\tfrac14&\tfrac12&-\tfrac14\\[4pt]-\tfrac14&-\tfrac14&\tfrac12\end{pmatrix}$。
解析：行列式 $|A|=-4$，结合伴随矩阵求逆。

14．设 $X$ 密度 $f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$Y$ 表示 3 次独立重复观察中事件 $\{X\le \tfrac12\}$ 的出现次数，则 $P\{Y=2\}=$ ______。

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二项分布

答案：$\dfrac{9}{64}$。
解析：$p=P(X\le \tfrac12)=\int_0^{1/2}2x\,dx=\tfrac14$，$Y\sim B(3,p)$，$P(Y=2)=C_3^2 p^2(1-p)$。

15．设事件 $A,B$，$P(A)=0.3,\ P(B\mid A)=0.4,\ P(A\mid B)=0.5$，则 $P(A\cup B)=$ ______。

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概率

答案：0.42。
解析：$P(AB)=0.12$，$P(B)=0.12/0.5=0.24$，并用加法公式。

16．总体 $X\sim U[0,\theta]$，样本 $X_1,\dots,X_n$，$\hat\theta=2\overline{X}$，则 $E(\hat\theta)=$ ______，$D(\hat\theta)=$ ______。

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无偏估计

答案：$\theta$，$\dfrac{\theta^2}{3n}$。
解析：$E(X)=\theta/2$，方差 $\theta^2/12$，样本均值期望方差放缩得结果。

三、解答题

三、解答题：17～23 小题，共 94 分。

17．设函数 $f(x,y)$ 满足 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x+1)e^{2xy}$，且 $f(0,y)=y+1$，$L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,t)$ 的光滑曲线，计算 $I(t)=\displaystyle \int_L \dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$，并求 $I(t)$ 的最小值。

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路径无关积分

答案：$I(t)=\tfrac{1}{2}e^{2t}+t$，最小值 $\tfrac{1}{2}(1-\ln 2)$。
解析要点：积分 $\partial f/\partial x$ 得 $f(x,y)=x e^{2xy}+C(y)$，由初值 $C(y)=y+1$。场保守，取折线路径计算 $I(t)$，再对 $t$ 求极值。

18．有界区域 $\varOmega$ 由平面 $2x+y+2z=2$ 与三坐标平面围成，$\varSigma$ 为外侧，计算 $I=\iint_{\varSigma}(2x+1)\,dy\,dz+2y\,dz\,dx+3z\,dx\,dy$。

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散度定理

答案：$\dfrac{7}{3}$。
解析要点：散度为 $2+2+3=7$，体积为截距长方锥 $V=\tfrac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot1=\tfrac{1}{3}$，故 $I=7V$。

19．已知 $f(0)=1$，且 $0<f'(x)<\tfrac{1}{2}$，数列 $x_{n+1}=f(x_n)$。
（I）证明 $\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n+1}-x_n|$ 绝对收敛；
（II）证明 $\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在且 $0<\lim_{n\to\infty}x_n<2$。

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数列极限

答案要点：
（I）拉格朗日定理得 $|x_{n+1}-x_n|\le \tfrac{1}{2}|x_n-x_{n-1}|$，与几何级数比较收敛。
（II）收敛到 $a$ 满足 $a=f(a)$，排除 $a=0$，并由 $f'(x)<\tfrac12$ 得 $a<2$。

20．设 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&a\\2&a&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$。讨论方程 $AX=B$ 的解：无解、唯一解、无穷多解。

参考答案 (1 个标签)

线性方程组

答案：$a\neq1,-2$ 唯一解；$a=-2$ 无解；$a=1$ 无穷多解。
解析要点：$|A|=(a-1)(-a-2)$，判别秩与增广矩阵秩关系。

21．已知 $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$。
（I）求 $A^{99}$；
（II）若三阶矩阵 $B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 满足 $B=BA$，记 $B\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，将 $\alpha_i$ 表示为 $\beta_i$ 的线性组合。

参考答案 (1 个标签)

矩阵幂

答案：
（I）$A^{99}=2^{98}A$；
（II）$\alpha_1=\beta_1+\beta_3,\ \alpha_2=2\beta_2,\ \alpha_3=\beta_1+\beta_3$。
解析要点：对角化特征值 $0,2,2$，$A^{99}=P\Lambda^{99}P^{-1}$；由 $B=BA$ 推出列关系。

22．二维随机变量 $(X,Y)$ 在 $D=\{(x,y)\mid 0<x<1,\ x^2<y<x\}$ 上均匀分布，$U=\mathbf{1}_{\{XY\le 1/4\}}$。
（I）写出 $(X,Y)$ 的密度；（II）判定 $U$ 与 $X$ 是否独立并说明；（III）求 $Z=U+X$ 的分布函数。

参考答案 (1 个标签)

联合分布

答案：
（I）$f(x,y)=\begin{cases}2,&(x,y)\in D\\0,&\text{其他}\end{cases}$；
（II）不独立（联合事件概率不等于乘积）；
（III）分段写 $F_Z(z)$：$z<0$ 为 0，$0\le z<1$ 时由 $X$ 与 $U=0/1$ 分情形积分，$1\le z<2$ 同理，$z\ge2$ 为 1。
解析要点：$D$ 面积 $1/2$，密度为 2； independence 用反例；分布函数按 $z$ 区间与 $U$ 取值拆分。

23．总体密度 $f(x;\theta)=\begin{cases}\dfrac{3x^2}{\theta^3},&0<x<\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$，样本 $X_1,X_2,X_3$，$T=\max\{X_1,X_2,X_3\}$。
（I）求 $T$ 的密度；（II）确定 $a$ 使 $aT$ 为 $\theta$ 的无偏估计。

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极大秩统计量

答案：
（I）$f_T(t)=\begin{cases}\dfrac{9 t^8}{\theta^9},&0<t<\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$；
（II）$a=\dfrac{10}{9}$。
解析要点：$F_T(t)=F_X(t)^3=(t^3/\theta^3)^3$，求导得密度；$E(T)=\tfrac{9}{10}\theta$，使 $E(aT)=\theta$ 得 $a$。

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