Elementary Functions at a Glance

Elementary functions are the building blocks of most formulas you will see in calculus and its applications.

Power Functions

Power function

$f(x) = x^a$ where $a$ is a real number.

• If $a$ is an integer, the domain is $\mathbb{R}$.
• If $a$ is rational with even denominator, restrict to keep roots real (e.g., $x^{1/2}$ needs $x \ge 0$).

• $a > 1$: grows faster; $a = 1$: line; $0 < a < 1$: concave, passes $(0,0)$.
• Negative $a$ yields reciprocals (e.g., $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$, domain excludes $0$).

Exponential Functions

Exponential function

$f(x) = a^x$ with $a > 0$, $a \ne 1$. Domain: $\mathbb{R}$; Range: $(0, +\infty)$.

• Increasing if $a>1$, decreasing if $0<a<1$.
• Always positive, crosses $(0,1)$.

Logarithmic Functions

Logarithmic function

$f(x) = \log_a x$ with $a > 0$, $a \ne 1$. Domain: $(0, +\infty)$; Range: $\mathbb{R}$.

• Inverse of $a^x$; passes $(1,0)$.
• Increasing if $a>1$, decreasing if $0<a<1$.

Trigonometric Functions

• $\sin x$, $\cos x$ are bounded in $[-1,1]$ with period $2\pi$.
• $\tan x$, $\cot x$ have period $\pi$ and vertical asymptotes.
• $\sin$ is odd, $\cos$ is even; phase shifts create other shapes.

Inverse Trigonometric Functions

• $\arcsin x$: domain $[-1,1]$, range $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$
• $\arccos x$: domain $[-1,1]$, range $[0, \pi]$
• $\arctan x$: domain $\mathbb{R}$, range $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

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练习题

练习 1

State the domain and monotonicity of $f(x) = x^{1/2}$.

参考答案

Domain: $[0, +\infty)$. Increasing on its domain.

练习 2

Compare growth: which grows faster as $x \to +\infty$, $x^3$ or $2^x$?

参考答案

Exponential $2^x$ eventually outgrows any power $x^3$; $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^x}{x^3} = +\infty$.

练习 3

Give one even and one odd trigonometric function with their periods.

参考答案

Even: $\cos x$, period $2\pi$.
Odd: $\sin x$, period $2\pi$.

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$x^a$	数学符号	x to the a	幂函数表达式
$a^x$	数学符号	a to the x	指数函数
$\log_a x$	数学符号	log base a of x	对数函数
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	三角函数的周期常数
$\arcsin x$	数学符号	arc-sine of x	反三角函数
$\arctan x$	数学符号	arc-tangent of x	反三角函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
幂函数	power function	/ˈpaʊər ˈfʌŋkʃən/	形如 $x^a$ 的函数
指数函数	exponential function	/ˌɛkspəˈnɛnʃəl ˈfʌŋkʃən/	底数固定、指数为自变量的函数
对数函数	logarithmic function	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	指数函数的反函数
三角函数	trigonometric function	/ˌtrɪɡənəˈmɛtrɪk ˈfʌŋkʃən/	以角度/弧度为自变量的周期函数
反三角函数	inverse trigonometric function	/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəˈmɛtrɪk ˈfʌŋkʃən/	求角度的三角函数逆运算
周期	period	/ˈpɪəriəd/	三角函数重复的最小正间隔

Chapters

• 初等函数的定义与分类
• 幂函数
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 反三角函数

PreviousSpecial Function FormsComposite, inverse, piecewise, implicit, and parametric functions—definitions, quick methods, and practice. NextThe Natural Constant $e$How $e$ arises from compound interest, its key properties, and quick exercises.