指数函数和对数函数

指数函数和对数函数是微积分中的重要函数类型，具有独特的性质。理解这些函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

指数函数和对数函数具有以下基本性质：

• 单调性：指数函数和对数函数都是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 可导性：在定义域内可导
• 反函数关系：指数函数和对数函数互为反函数

指数函数

1. 自然指数函数

定义：$f(x) = e^x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 图像是单调递增的指数曲线
• 值域：$(0, +\infty)$
• 导数：$f'(x) = e^x$

2. 一般指数函数

定义：$f(x) = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$(0, +\infty)$
• 导数：$f'(x) = a^x \ln a$

3. 指数函数的图像特征

1. 单调性：指数函数在其定义域内单调
2. 渐近线：有水平渐近线 $y = 0$
3. 平滑性：图像是平滑的曲线，无尖角或断裂
4. 增长性：当 $a > 1$ 时，函数值随 $x$ 的增加而快速增长

对数函数

1. 自然对数函数

定义：$f(x) = \ln x$

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 图像是单调递增的对数曲线
• 值域：$\mathbb{R}$
• 导数：$f'(x) = \frac{1}{x}$

2. 一般对数函数

定义：$f(x) = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$\mathbb{R}$
• 导数：$f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$

3. 对数函数的图像特征

1. 单调性：对数函数在其定义域内单调
2. 渐近线：有垂直渐近线 $x = 0$
3. 平滑性：图像是平滑的曲线，无尖角或断裂
4. 增长性：对数函数增长缓慢

指数函数和对数函数的连续性分析

连续性判定

1. 指数函数：在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
2. 对数函数：在 $(0, +\infty)$ 上连续

连续性证明

指数函数和对数函数的连续性基于以下事实：

1. 幂级数展开：指数函数可以用幂级数表示
2. 幂级数的连续性：幂级数在其收敛域内连续
3. 反函数的连续性：连续函数的反函数连续

复合函数的连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 $e^{f(x)}$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1：$f(x) = e^{x^2 + 1}$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 3：$f(x) = e^{\ln x}$

分析：

• 内函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $g(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 实际上 $f(x) = x$（当 $x > 0$ 时）

指数函数和对数函数的应用

1. 科学建模

指数函数和对数函数在科学中有广泛应用：

• 人口增长：描述人口增长模型
• 放射性衰变：描述放射性物质的衰变
• 化学反应：描述化学反应速率

2. 经济应用

指数函数和对数函数在经济学中有重要应用：

• 复利计算：描述资金增长
• 通货膨胀：描述物价变化
• 经济增长：描述经济发展

3. 工程应用

指数函数和对数函数在工程中有重要应用：

• 信号处理：描述信号衰减
• 电路分析：描述电容充放电
• 热传导：描述温度变化

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = e^{x^2}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
4. 特别地，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 分析复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 3

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
4. 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

答案：连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$。

练习 4

判断函数 $f(x) = e^{\sin x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 5

判断函数 $f(x) = \ln(\cos x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $\cos x > 0$
4. 因此连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值

答案：连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = e^0 = 1$
4. 三者相等，因此函数在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。