三角函数的不连续性
三角函数是微积分中的重要函数类型,某些三角函数在特定点处不连续。理解三角函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。
基本性质
三角函数具有以下基本性质:
- 周期性:具有周期性特征
- 连续性:sinx 和 cosx 在 R 上连续
- 不连续性:tanx 和 cotx 在特定点处不连续
- 渐近线:不连续点处有垂直渐近线
连续三角函数
正弦函数和余弦函数
正弦函数:f(x)=sinx
性质:
- 定义域:R
- 在 R 上处处连续
- 周期为 2π
- 值域:[−1,1]
余弦函数:f(x)=cosx
性质:
- 定义域:R
- 在 R 上处处连续
- 周期为 2π
- 值域:[−1,1]
不连续三角函数
正切函数
定义:f(x)=tanx
性质:
- 定义域:x=2π+kπ(k 为整数)
- 在定义域内连续
- 周期为 π
- 值域:R
- 在不连续点处有垂直渐近线
不连续点分析:
- 不连续点:x=2π+kπ(k 为整数)
- 左极限:limx→(2π+kπ)−tanx=+∞
- 右极限:limx→(2π+kπ)+tanx=−∞
- 这些是第二类不连续点
余切函数
定义:f(x)=cotx
性质:
- 定义域:x=kπ(k 为整数)
- 在定义域内连续
- 周期为 π
- 值域:R
- 在不连续点处有垂直渐近线
不连续点分析:
- 不连续点:x=kπ(k 为整数)
- 左极限:limx→(kπ)−cotx=−∞
- 右极限:limx→(kπ)+cotx=+∞
- 这些是第二类不连续点
正割函数和余割函数
正割函数:f(x)=secx=cosx1
性质:
- 定义域:x=2π+kπ(k 为整数)
- 在定义域内连续
- 周期为 2π
- 在不连续点处有垂直渐近线
余割函数:f(x)=cscx=sinx1
性质:
- 定义域:x=kπ(k 为整数)
- 在定义域内连续
- 周期为 2π
- 在不连续点处有垂直渐近线
三角函数的不连续性分析
不连续点类型
三角函数的不连续点主要有以下几种类型:
- 第二类不连续点:极限趋向无穷
- 垂直渐近线:在不连续点处有垂直渐近线
- 周期性不连续:不连续点具有周期性特征
连续性判定
- sinx 和 cosx:在 R 上处处连续
- tanx 和 cotx:在定义域内连续,在不连续点处有垂直渐近线
- secx 和 cscx:在定义域内连续,在不连续点处有垂直渐近线
复合三角函数的不连续性
基本定理
如果函数 f(x) 在 x0 点连续,则 sin(f(x)) 和 cos(f(x)) 在 x0 点连续。
例子
例子 1:f(x)=sin(x1)
分析:
- 内函数 h(x)=x1 在 x=0 处连续
- 外函数 g(x)=sinx 在 R 上连续
- 因此 f(x)=g(h(x)) 在 x=0 处连续
- 在 x=0 处不连续(内函数在该点无定义)
例子 2:f(x)=tan(x2)
分析:
- 内函数 h(x)=x2 在 R 上连续
- 外函数 g(x)=tanx 在定义域内连续
- 因此 f(x)=g(h(x)) 在定义域内连续
- 不连续点:当 x2=2π+kπ 时,即 x=±2π+kπ
三角函数的图像特征
图像特征总结
- 周期性:三角函数具有周期性,图像重复出现
- 平滑性:在定义域内,三角函数的图像是平滑的曲线
- 渐近线:不连续点处有垂直渐近线
- 对称性:sinx 是奇函数,cosx 是偶函数
三角函数的应用
1. 物理建模
三角函数在物理学中有广泛应用:
- 振动:描述简谐振动
- 波动:描述各种波动现象
- 周期现象:描述周期性物理现象
2. 工程应用
三角函数在工程中有重要应用:
- 信号处理:傅里叶分析
- 电路分析:交流电路分析
- 机械设计:运动学分析
练习题
练习 1
判断函数 f(x)=tan(x2) 在 x=0 处的连续性。
参考答案
解题思路:
利用复合函数的连续性。
详细步骤:
- 内函数 g(x)=x2 在 R 上连续
- 外函数 h(x)=tanx 在定义域内连续
- 由于 x2≥0,且 tanx 在 x=0 处连续
- 因此 f(x)=h(g(x)) 在 x=0 处连续
答案:函数在 x=0 处连续。
练习 2
判断函数 f(x)=sin(x1) 在 x=0 处的连续性。
参考答案
解题思路:
检查函数在该点是否有定义。
详细步骤:
- 函数在 x=0 处无定义
- 因此函数在 x=0 处不连续
答案:函数在 x=0 处不连续,因为函数在该点无定义。
练习 3
判断函数 f(x)=cot(x2) 的连续区间。
参考答案
解题思路:
分析复合函数的定义域和连续性。
详细步骤:
- 内函数 g(x)=x2 在 R 上连续
- 外函数 h(x)=cotx 在定义域内连续
- 需要 x2=kπ,即 x=±kπ(k 为非负整数)
- 因此连续区间为除 x=±kπ 外的所有实数
答案:连续区间为除 x=±kπ 外的所有实数。
练习 4
判断函数 f(x)=tan(sinx) 在 R 上的连续性。
参考答案
解题思路:
利用复合函数的连续性。
详细步骤:
- 内函数 g(x)=sinx 在 R 上连续
- 外函数 h(x)=tanx 在定义域内连续
- 由于 sinx∈[−1,1],且 tanx 在 [−1,1] 内连续
- 因此 f(x)=h(g(x)) 在 R 上连续
答案:函数在 R 上连续。
练习 5
判断函数 f(x)=cos(lnx) 在 x=1 处的连续性。
参考答案
解题思路:
利用复合函数的连续性。
详细步骤:
- 内函数 g(x)=lnx 在 (0,+∞) 上连续
- 外函数 h(x)=cosx 在 R 上连续
- 因此 f(x)=h(g(x)) 在 (0,+∞) 上连续
- 特别地,f(x) 在 x=1 处连续
答案:函数在 x=1 处连续。
练习 6
设函数 f(x)={sinx,x+1,x≤0x>0,判断 f(x) 在 x=0 处的连续性。
参考答案
解题思路:
分别计算左极限、右极限和函数值,判断三者是否相等。
详细步骤:
- 左极限:limx→0−f(x)=limx→0−sinx=0
- 右极限:limx→0+f(x)=limx→0+(x+1)=1
- 函数值:f(0)=sin0=0
- 左右极限不相等,因此函数在 x=0 处不连续
答案:函数在 x=0 处不连续,这是一个跳跃不连续点。