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三角函数的不连续性

三角函数是微积分中的重要函数类型,某些三角函数在特定点处不连续。理解三角函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

基本性质

三角函数具有以下基本性质:

  • 周期性:具有周期性特征
  • 连续性sinx\sin xcosx\cos xR\mathbb{R} 上连续
  • 不连续性tanx\tan xcotx\cot x 在特定点处不连续
  • 渐近线:不连续点处有垂直渐近线

连续三角函数

正弦函数和余弦函数

正弦函数f(x)=sinxf(x) = \sin x

性质

  • 定义域:R\mathbb{R}
  • R\mathbb{R} 上处处连续
  • 周期为 2π2\pi
  • 值域:[1,1][-1, 1]

余弦函数f(x)=cosxf(x) = \cos x

性质

  • 定义域:R\mathbb{R}
  • R\mathbb{R} 上处处连续
  • 周期为 2π2\pi
  • 值域:[1,1][-1, 1]

不连续三角函数

正切函数

定义f(x)=tanxf(x) = \tan x

性质

  • 定义域:xπ2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pikk 为整数)
  • 在定义域内连续
  • 周期为 π\pi
  • 值域:R\mathbb{R}
  • 在不连续点处有垂直渐近线

不连续点分析

  • 不连续点:x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pikk 为整数)
  • 左极限:limx(π2+kπ)tanx=+\lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^-} \tan x = +\infty
  • 右极限:limx(π2+kπ)+tanx=\lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^+} \tan x = -\infty
  • 这些是第二类不连续点

余切函数

定义f(x)=cotxf(x) = \cot x

性质

  • 定义域:xkπx \neq k\pikk 为整数)
  • 在定义域内连续
  • 周期为 π\pi
  • 值域:R\mathbb{R}
  • 在不连续点处有垂直渐近线

不连续点分析

  • 不连续点:x=kπx = k\pikk 为整数)
  • 左极限:limx(kπ)cotx=\lim_{x \to (k\pi)^-} \cot x = -\infty
  • 右极限:limx(kπ)+cotx=+\lim_{x \to (k\pi)^+} \cot x = +\infty
  • 这些是第二类不连续点

正割函数和余割函数

正割函数f(x)=secx=1cosxf(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}

性质

  • 定义域:xπ2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pikk 为整数)
  • 在定义域内连续
  • 周期为 2π2\pi
  • 在不连续点处有垂直渐近线

余割函数f(x)=cscx=1sinxf(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x}

性质

  • 定义域:xkπx \neq k\pikk 为整数)
  • 在定义域内连续
  • 周期为 2π2\pi
  • 在不连续点处有垂直渐近线

三角函数的不连续性分析

不连续点类型

三角函数的不连续点主要有以下几种类型:

  1. 第二类不连续点:极限趋向无穷
  2. 垂直渐近线:在不连续点处有垂直渐近线
  3. 周期性不连续:不连续点具有周期性特征

连续性判定

  1. sinx\sin xcosx\cos x:在 R\mathbb{R} 上处处连续
  2. tanx\tan xcotx\cot x:在定义域内连续,在不连续点处有垂直渐近线
  3. secx\sec xcscx\csc x:在定义域内连续,在不连续点处有垂直渐近线

复合三角函数的不连续性

基本定理

如果函数 f(x)f(x)x0x_0 点连续,则 sin(f(x))\sin(f(x))cos(f(x))\cos(f(x))x0x_0 点连续。

例子

例子 1f(x)=sin(1x)f(x) = \sin(\frac{1}{x})

分析

  • 内函数 h(x)=1xh(x) = \frac{1}{x}x0x \neq 0 处连续
  • 外函数 g(x)=sinxg(x) = \sin xR\mathbb{R} 上连续
  • 因此 f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x))x0x \neq 0 处连续
  • x=0x = 0 处不连续(内函数在该点无定义)

例子 2f(x)=tan(x2)f(x) = \tan(x^2)

分析

  • 内函数 h(x)=x2h(x) = x^2R\mathbb{R} 上连续
  • 外函数 g(x)=tanxg(x) = \tan x 在定义域内连续
  • 因此 f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x)) 在定义域内连续
  • 不连续点:当 x2=π2+kπx^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi 时,即 x=±π2+kπx = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + k\pi}

三角函数的图像特征

图像特征总结

  1. 周期性:三角函数具有周期性,图像重复出现
  2. 平滑性:在定义域内,三角函数的图像是平滑的曲线
  3. 渐近线:不连续点处有垂直渐近线
  4. 对称性sinx\sin x 是奇函数,cosx\cos x 是偶函数

三角函数的应用

1. 物理建模

三角函数在物理学中有广泛应用:

  • 振动:描述简谐振动
  • 波动:描述各种波动现象
  • 周期现象:描述周期性物理现象

2. 工程应用

三角函数在工程中有重要应用:

  • 信号处理:傅里叶分析
  • 电路分析:交流电路分析
  • 机械设计:运动学分析

练习题

练习 1

判断函数 f(x)=tan(x2)f(x) = \tan(x^2)x=0x = 0 处的连续性。

参考答案

解题思路: 利用复合函数的连续性。

详细步骤

  1. 内函数 g(x)=x2g(x) = x^2R\mathbb{R} 上连续
  2. 外函数 h(x)=tanxh(x) = \tan x 在定义域内连续
  3. 由于 x20x^2 \geq 0,且 tanx\tan xx=0x = 0 处连续
  4. 因此 f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x))x=0x = 0 处连续

答案:函数在 x=0x = 0 处连续。

练习 2

判断函数 f(x)=sin(1x)f(x) = \sin(\frac{1}{x})x=0x = 0 处的连续性。

参考答案

解题思路: 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤

  1. 函数在 x=0x = 0 处无定义
  2. 因此函数在 x=0x = 0 处不连续

答案:函数在 x=0x = 0 处不连续,因为函数在该点无定义。

练习 3

判断函数 f(x)=cot(x2)f(x) = \cot(x^2) 的连续区间。

参考答案

解题思路: 分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤

  1. 内函数 g(x)=x2g(x) = x^2R\mathbb{R} 上连续
  2. 外函数 h(x)=cotxh(x) = \cot x 在定义域内连续
  3. 需要 x2kπx^2 \neq k\pi,即 x±kπx \neq \pm\sqrt{k\pi}kk 为非负整数)
  4. 因此连续区间为除 x=±kπx = \pm\sqrt{k\pi} 外的所有实数

答案:连续区间为除 x=±kπx = \pm\sqrt{k\pi} 外的所有实数。

练习 4

判断函数 f(x)=tan(sinx)f(x) = \tan(\sin x)R\mathbb{R} 上的连续性。

参考答案

解题思路: 利用复合函数的连续性。

详细步骤

  1. 内函数 g(x)=sinxg(x) = \sin xR\mathbb{R} 上连续
  2. 外函数 h(x)=tanxh(x) = \tan x 在定义域内连续
  3. 由于 sinx[1,1]\sin x \in [-1, 1],且 tanx\tan x[1,1][-1, 1] 内连续
  4. 因此 f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x))R\mathbb{R} 上连续

答案:函数在 R\mathbb{R} 上连续。

练习 5

判断函数 f(x)=cos(lnx)f(x) = \cos(\ln x)x=1x = 1 处的连续性。

参考答案

解题思路: 利用复合函数的连续性。

详细步骤

  1. 内函数 g(x)=lnxg(x) = \ln x(0,+)(0, +\infty) 上连续
  2. 外函数 h(x)=cosxh(x) = \cos xR\mathbb{R} 上连续
  3. 因此 f(x)=h(g(x))f(x) = h(g(x))(0,+)(0, +\infty) 上连续
  4. 特别地,f(x)f(x)x=1x = 1 处连续

答案:函数在 x=1x = 1 处连续。

练习 6

设函数 f(x)={sinx,x0x+1,x>0f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases},判断 f(x)f(x)x=0x = 0 处的连续性。

参考答案

解题思路: 分别计算左极限、右极限和函数值,判断三者是否相等。

详细步骤

  1. 左极限:limx0f(x)=limx0sinx=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = 0
  2. 右极限:limx0+f(x)=limx0+(x+1)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1
  3. 函数值:f(0)=sin0=0f(0) = \sin 0 = 0
  4. 左右极限不相等,因此函数在 x=0x = 0 处不连续

答案:函数在 x=0x = 0 处不连续,这是一个跳跃不连续点。

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