第二类间断点

第二类间断点是间断点的另一重要类型，其特征是至少有一个单侧极限不存在。

定义

第二类间断点的定义

左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点。

特征

• 至少有一个单侧极限不存在
• 函数在该点附近可能无界
• 函数图像在该点可能有垂直渐近线

常见例子

例子 1：有理函数

函数：$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处无定义
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$
• 左右极限都不存在（趋向无穷）
• 因此 $x = 0$ 是第二类间断点

图像特征：

• 函数图像在 $x = 0$ 处有垂直渐近线
• 左侧趋向负无穷，右侧趋向正无穷

例子 2：平方倒数函数

函数：$f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处无定义
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$
• 左右极限都不存在（都趋向正无穷）
• 因此 $x = 0$ 是第二类间断点

图像特征：

• 函数图像在 $x = 0$ 处有垂直渐近线
• 两侧都趋向正无穷

例子 3：三角函数

函数：$f(x) = \tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处

分析：

• 函数在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处无定义
• 左极限：$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan x = +\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \tan x = -\infty$
• 单侧极限都不存在（趋于无穷大且符号相反）
• 因此 $x = \frac{\pi}{2}$ 是第二类间断点

图像特征：

• 函数图像在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处有垂直渐近线
• 左侧趋向正无穷，右侧趋向负无穷

例子 4：指数函数

函数：$f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处无定义
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$（因为 $\frac{1}{x} \to -\infty$）
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$（因为 $\frac{1}{x} \to +\infty$）
• 右极限不存在
• 因此 $x = 0$ 是第二类间断点

图像特征：

• 左侧趋向 0
• 右侧趋向正无穷

处理方法

第二类间断点通常表示函数在该点附近有严重的不连续性：

分析函数行为

• 研究函数在该点附近的行为
• 分析是否影响函数的整体性质
• 确定垂直渐近线的位置

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：计算左右极限并判断。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义

2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$

3. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$

4. 左右极限都不存在（为无穷大）

答案：$x = 0$ 是第二类间断点。

练习 2

判断函数 $f(x) = \tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：分析函数在该点的定义和极限。

详细步骤：

1. $f(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处无定义
2. 左极限：$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan x = +\infty$
3. 右极限：$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \tan x = -\infty$
4. 单侧极限都不存在（趋于无穷大且符号相反）

答案：$x = \frac{\pi}{2}$ 是第二类间断点。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ 在 $x = 1$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：计算左右极限并判断。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 1$ 处无定义

2. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$

3. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$

4. 左右极限都不存在（趋向无穷）

答案：$x = 1$ 是第二类间断点。

练习 4

判断函数 $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：计算左右极限并判断。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义

2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$

3. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$

4. 右极限不存在（趋向无穷）

答案：$x = 0$ 是第二类间断点。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示角度（如 $\frac{\pi}{2}$）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
第二类间断点	discontinuity of the second kind	/dɪskɒntɪˈnjuːəti əv ðə ˈsekənd kaɪnd/	至少一个单侧极限不存在的间断点
垂直渐近线	vertical asymptote	/ˈvɜːtɪkəl ˈæsɪmptəʊt/	函数图像在该点附近的垂直渐近线
无界	unbounded	/ʌnˈbaʊndɪd/	函数值没有上界或下界

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