多项式函数的连续性

多项式函数是最基本的初等函数类型，在微积分中具有重要地位。理解多项式函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

多项式函数具有以下基本性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$（全体实数）
• 连续性：在定义域内处处连续
• 图像特征：平滑的曲线，无跳跃或断裂
• 可导性：在定义域内处处可导

多项式函数的定义

定义：形如 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 的函数称为多项式函数，其中 $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ 为常数，$n$ 为非负整数。

多项式函数的连续性

基本定理

定理：多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

证明思路

多项式函数连续性的证明基于以下事实：

1. 常数函数连续：$f(x) = c$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 幂函数连续：$f(x) = x^n$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 连续函数的和、差、积连续

详细证明

设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

1. 每个幂函数 $x^k$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 常数倍 $a_k x^k$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 有限个连续函数的和在 $\mathbb{R}$ 上连续
4. 因此多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上连续

常见多项式函数

1. 一次函数（线性函数）

形式：$f(x) = ax + b$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = 2x + 1$

性质：

• 图像是一条直线
• 斜率为 $a$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

2. 二次函数

形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = x^2 + 2x + 1$

性质：

• 图像是一条抛物线
• 当 $a > 0$ 时开口向上，当 $a < 0$ 时开口向下
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

3. 三次函数

形式：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = x^3 - 3x + 2$

性质：

• 图像是一条三次曲线
• 可能有局部极值点
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

多项式函数的图像特征

图像特征总结

1. 平滑性：多项式函数的图像是平滑的曲线，没有尖角或断裂
2. 连通性：可以用笔不离开纸面画出整个图像
3. 渐进行为：函数值的变化是渐进的，没有跳跃
4. 局部性质：在任意点附近，函数值的变化都是连续的

多项式函数的应用

1. 函数逼近

多项式函数可以用来逼近其他复杂函数：

• 泰勒展开：将复杂函数展开为多项式
• 插值：通过已知点构造多项式函数

2. 建模应用

多项式函数在科学和工程中有广泛应用：

• 物理建模：描述运动、力等物理量
• 经济建模：描述成本、收益等经济关系
• 工程应用：描述各种工程参数

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 多项式函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ 是多项式函数
2. 多项式函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 多项式函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ 是二次多项式函数
2. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
3. 因此 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

练习 3

设 $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$，求 $f(x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 多项式函数的连续区间就是其定义域。

详细步骤：

1. $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$ 是四次多项式函数
2. 多项式函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此连续区间为 $\mathbb{R}$

答案：连续区间为 $\mathbb{R}$。

练习 4

设 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数。若 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，求 $a + b + c$ 的值。

参考答案

解题思路： 多项式函数在任意点处都连续，因此条件 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续对 $a, b, c$ 没有限制。

详细步骤：

1. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
2. 因此 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续对 $a, b, c$ 没有限制
3. $a + b + c$ 可以是任意实数

答案：$a + b + c$ 可以是任意实数。

练习 5

判断函数 $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 多项式函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x$ 是五次多项式函数
2. 多项式函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。