分段函数

分段函数是常见的不连续函数类型，在不同区间上使用不同的函数表达式。理解分段函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

基本概念

分段函数是指在不同区间上使用不同函数表达式的函数。分段函数的不连续性主要体现在分段点处，需要特别检查这些点的连续性。

分段函数的定义

定义：形如 $f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in I_1 \\ f_2(x), & x \in I_2 \\ \vdots \\ f_n(x), & x \in I_n \end{cases}$ 的函数称为分段函数，其中 $I_1, I_2, \ldots, I_n$ 是互不相交的区间。

分段函数的连续性分析

连续性判定方法

对于分段函数，需要特别检查分段点处的连续性：

1. 计算左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$
2. 计算右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$
3. 计算函数值：$f(x_0)$
4. 比较三者：如果三者相等，则函数在该点连续；否则不连续

不连续点类型

1. 第一类不连续点（跳跃不连续）：左右极限都存在但不相等
2. 第二类不连续点：至少有一个单侧极限不存在

常见分段函数例子

1. 连续的分段函数

例子 1：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$

分析：

• 在 $x = 1$ 处需要检查连续性
• 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
• 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$
• 函数值：$f(1) = 1^2 = 1$
• 三者相等，因此函数在 $x = 1$ 处连续

2. 跳跃不连续的分段函数

例子 2：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ 2x + 1, & x > 0 \end{cases}$

分析：

• 在 $x = 0$ 处需要检查连续性
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 1$
• 左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续
• 这是一个第一类不连续点（跳跃不连续）

例子 3：$f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$

分析：

• 在 $x = 0$ 处需要检查连续性
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
• 函数值：$f(0) = \sin 0 = 0$
• 左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续
• 这是一个跳跃不连续点

3. 第二类不连续的分段函数

例子 4：$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

分析：

• 在 $x = 0$ 处需要检查连续性
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$
• 左右极限都不存在（趋向无穷），因此函数在 $x = 0$ 处不连续
• 这是一个第二类不连续点

分段函数的图像特征

图像特征总结

1. 跳跃不连续：函数图像在分段点处有跳跃，左右极限存在但不相等
2. 垂直渐近线：在某些分段点处可能有垂直渐近线
3. 断裂：函数图像在分段点处有断裂，无法用笔不离开纸面画出
4. 平滑连接：如果分段点处连续，则图像在该点处平滑连接

分段函数的应用

1. 实际问题建模

分段函数在实际问题中有广泛应用：

• 阶梯函数：描述阶梯式收费
• 条件函数：描述不同条件下的行为
• 边界条件：描述物理边界条件

2. 数学建模

分段函数在数学建模中有重要应用：

• 插值函数：通过分段函数进行插值
• 逼近函数：用分段函数逼近复杂函数
• 数值方法：在数值计算中使用分段函数

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 2 \\ 3x - 2, & x > 2 \end{cases}$ 在 $x = 2$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$
2. 右极限：$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 4$
3. 函数值：$f(2) = 2^2 = 4$
4. 三者相等，因此函数在 $x = 2$ 处连续

答案：函数在 $x = 2$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^3, & x \leq 1 \\ 2x^2 - 1, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^3 = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - 1) = 1$
3. 函数值：$f(1) = 1^3 = 1$
4. 三者相等，因此函数在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

练习 3

判断函数 $f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq 0 \\ x^2 + 1, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \cos x = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = \cos 0 = 1$
4. 三者相等，因此函数在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 4

设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ 2x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = 0^2 = 0$
4. 左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续。

练习 5

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，求常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

参考答案

解题思路： 利用连续性的定义，使函数值等于极限值。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
2. 根据连续性定义：$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$
3. 因此 $a = 2$

答案：$a = 2$。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，求常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

参考答案

解题思路： 利用连续性的定义，使函数值等于极限值。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3$
2. 根据连续性定义：$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$
3. 因此 $a = 3$

答案：$a = 3$。