间断点的判定方法

判定间断点的类型是连续性理论中的重要技能。本文介绍几种常用的判定方法。

定义法

直接使用间断点的定义进行判定：

步骤

1. 检查函数在该点是否有定义

   • 如果函数在该点无定义，则该点可能是间断点

2. 计算函数在该点的极限

   • 计算 $\lim_{x \to x_0} f(x)$
   • 如果极限不存在，则该点是间断点

3. 比较极限值与函数值

   • 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$，则该点是间断点

例子

判断 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 在 $x = 2$ 处的间断点类型

步骤：

1. 函数在 $x = 2$ 处无定义
2. 计算极限：$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$
3. 极限存在但函数值无定义
4. 结论：$x = 2$ 是可去间断点

左右极限法

对于分段函数或复杂函数，使用左右极限法更方便：

步骤

1. 分别计算左极限和右极限

   • 左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$
   • 右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$

2. 比较左极限、右极限和函数值

   • 如果左极限 = 右极限 = 函数值，则连续
   • 如果左极限 = 右极限 ≠ 函数值，则是可去间断点
   • 如果左极限 ≠ 右极限，则是跳跃间断点
   • 如果至少一个单侧极限不存在，则是第二类间断点

例子

判断 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2x, & x \geq 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的间断点类型

步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2$
3. 函数值：$f(1) = 2 \times 1 = 2$
4. 左极限 ≠ 右极限
5. 结论：$x = 1$ 是跳跃间断点

图像法

通过观察函数图像判定间断点类型：

特征

1. 连续点

   • 图像连续通过该点
   • 没有断裂或跳跃

2. 可去间断点

   • 图像有”洞”
   • 可以通过填补”洞”使函数连续

3. 跳跃间断点

   • 图像有”跳跃”
   • 左右两侧的函数值不相等

4. 第二类间断点

   • 图像可能有垂直渐近线
   • 函数值趋向无穷

例子

判断 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型

观察图像：

• 函数图像在 $x = 0$ 处有垂直渐近线
• 左侧趋向负无穷，右侧趋向正无穷
• 结论：$x = 0$ 是第二类间断点

判定流程图

开始
  ↓
函数在 x₀ 处有定义吗？
  ↓ 否 → 计算极限
  ↓ 是
  ↓
计算 lim f(x)
  x→x₀
  ↓
极限存在吗？
  ↓ 否 → 计算左右极限
  ↓ 是
  ↓
极限 = f(x₀) 吗？
  ↓ 否 → 可去间断点
  ↓ 是
  ↓
连续点

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练习题

练习 1

使用定义法判断 $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 在 $x = 3$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：按照定义法的步骤进行判定。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 3$ 处无定义
2. 计算极限：$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$
3. 极限存在但函数值无定义

答案：$x = 3$ 是可去间断点。

练习 2

使用左右极限法判断 $f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：分别计算左右极限并比较。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
3. 函数值：$f(0) = 1$
4. 左极限 ≠ 右极限

答案：$x = 0$ 是跳跃间断点。

练习 3

使用图像法判断 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

参考答案

解题思路：观察函数图像特征。

详细步骤：

1. 函数图像在 $x = 0$ 处有垂直渐近线
2. 两侧都趋向正无穷
3. 这是第二类间断点的典型特征

答案：$x = 0$ 是第二类间断点。

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
定义法	definition method	/ˌdefɪˈnɪʃən ˈmeθəd/	使用定义判定间断点类型
左右极限法	left-right limit method	/left raɪt ˈlɪmɪt ˈmeθəd/	使用左右极限判定
图像法	graphical method	/ˈɡræfɪkəl ˈmeθəd/	通过图像判定

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