三角函数

三角函数是微积分中的重要函数类型，具有周期性特征。理解三角函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

三角函数具有以下基本性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$（对于 $\sin x$ 和 $\cos x$）
• 连续性：在定义域内处处连续
• 周期性：具有周期性特征
• 有界性：函数值有界

常见三角函数

1. 正弦函数

定义：$f(x) = \sin x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
• 周期为 $2\pi$
• 值域：$[-1, 1]$
• 图像是正弦曲线

2. 余弦函数

定义：$f(x) = \cos x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
• 周期为 $2\pi$
• 值域：$[-1, 1]$
• 图像是余弦曲线

3. 正切函数

定义：$f(x) = \tan x$

性质：

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $\pi$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在不连续点处有垂直渐近线

4. 余切函数

定义：$f(x) = \cot x$

性质：

• 定义域：$x \neq k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $\pi$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在不连续点处有垂直渐近线

三角函数的连续性分析

连续性判定

1. $\sin x$ 和 $\cos x$：在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
2. $\tan x$ 和 $\cot x$：在定义域内连续，在不连续点处有垂直渐近线

连续性证明

三角函数的连续性基于以下事实：

1. 幂级数展开：$\sin x$ 和 $\cos x$ 可以用幂级数表示
2. 幂级数的连续性：幂级数在其收敛域内连续
3. 复合函数的连续性：连续函数的复合函数连续

三角函数的图像特征

图像特征总结

1. 周期性：三角函数具有周期性，图像重复出现
2. 平滑性：在定义域内，三角函数的图像是平滑的曲线
3. 有界性：$\sin x$ 和 $\cos x$ 有界，$\tan x$ 和 $\cot x$ 无界
4. 对称性：$\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数

三角函数的应用

1. 物理建模

三角函数在物理学中有广泛应用：

• 振动：描述简谐振动
• 波动：描述各种波动现象
• 周期现象：描述周期性物理现象

2. 工程应用

三角函数在工程中有重要应用：

• 信号处理：傅里叶分析
• 电路分析：交流电路分析
• 机械设计：运动学分析

复合三角函数的连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 $\sin(f(x))$ 和 $\cos(f(x))$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1：$f(x) = \sin(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \cos(\ln x)$

分析：

• 内函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $x = \pi$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
4. 特别地，$f(x)$ 在 $x = \pi$ 处连续

答案：函数在 $x = \pi$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \cos(x^3)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
4. 特别地，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 3

判断函数 $f(x) = \tan(x^2)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \tan x$ 在定义域内连续
3. 由于 $x^2 \geq 0$，且 $\tan x$ 在 $x = 0$ 处连续
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 4

判断函数 $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义
2. 因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 5

判断函数 $f(x) = \cos(\ln x)$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
4. 特别地，$f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = \sin 0 = 0$
4. 左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，这是一个跳跃不连续点。