指数函数的连续性

指数函数是微积分中的重要函数类型，理解其连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

指数函数具有以下基本性质：

• 单调性：指数函数是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 反函数关系：指数函数和对数函数互为反函数
• 图像特征：平滑的曲线，无跳跃或断裂

基本指数函数

自然指数函数

定义：$f(x) = e^x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 图像是单调递增的指数曲线
• 值域：$(0, +\infty)$

一般指数函数

定义：$f(x) = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$(0, +\infty)$

指数函数的连续性证明

指数函数的连续性定理

指数函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

证明思路

1. 利用指数函数的单调性

   • 指数函数在 $\mathbb{R}$ 上单调

2. 利用极限的性质

   • 对于任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，$\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$

3. 证明在任意点 $x_0$ 处连续

   • 由于 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
   • 因此函数在 $x_0$ 处连续

复合指数函数

例子 1：$f(x) = e^{x^2}$

分析：

• 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = a^{\sin x}$（$a > 0, a \neq 1$）

分析：

• 内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 3：$f(x) = e^{\frac{1}{x}}$

分析：

• 内函数 $g(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 处连续
• 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $x \neq 0$ 处连续
• 在 $x = 0$ 处不连续（内函数无定义）

指数函数的图像特征

图像特征总结

1. 平滑性：指数函数的图像是平滑的曲线，没有尖角或断裂
2. 单调性：指数函数在其定义域内单调
3. 渐近线：有水平渐近线 $y = 0$
4. 增长性：指数函数增长快速

指数函数的应用

1. 科学建模

指数函数在科学中有广泛应用：

• 人口增长：描述人口增长模型 $P(t) = P_0 e^{rt}$
• 放射性衰变：描述放射性物质的衰变 $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
• 化学反应：描述化学反应速率

2. 经济应用

指数函数在经济学中有重要应用：

• 复利计算：描述资金增长 $A = P e^{rt}$
• 通货膨胀：描述物价变化
• 经济增长：描述经济发展

3. 工程应用

指数函数在工程中有重要应用：

• 信号处理：描述信号衰减
• 电路分析：描述电容充放电 $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$
• 热传导：描述温度变化

---

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：指数函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = e^x$ 是指数函数
2. 指数函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 指数函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = e^{\sin x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 3

判断函数 $f(x) = 2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：一般指数函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = 2^x$ 是一般指数函数，底数 $a = 2 > 1$
2. 指数函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 指数函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 4

判断函数 $f(x) = e^{x^2 + 1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集
$e$	数学符号	自然常数	约等于 2.71828

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
指数函数	exponential function	/ɪkspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = a^x$ 的函数
自然指数函数	natural exponential function	/ˈnætʃərəl ɪkspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	以 $e$ 为底的指数函数 $f(x) = e^x$
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	函数的自变量取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
连续性	continuity	/kɒntɪˈnjuːəti/	函数在某点没有跳跃或断裂的性质
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	由多个函数复合而成的函数

上一章节 有理函数的连续性 下一章节 对数函数的连续性