对数函数

对数函数是微积分中的重要函数类型，具有独特的性质。理解对数函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

对数函数具有以下基本性质：

• 单调性：对数函数是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 可导性：在定义域内可导
• 反函数关系：对数函数和指数函数互为反函数

自然对数函数

自然对数函数的定义

$f(x) = \ln x$

自然对数函数是以 $e$ 为底的对数函数。

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 图像是单调递增的对数曲线
• 值域：$\mathbb{R}$
• 导数：$f'(x) = \frac{1}{x}$

一般对数函数

一般对数函数的定义

$f(x) = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）

其中 $a$ 是底数。

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$\mathbb{R}$
• 导数：$f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$

对数函数的图像特征

1. 单调性：对数函数在其定义域内单调
2. 渐近线：有垂直渐近线 $x = 0$
3. 平滑性：图像是平滑的曲线，无尖角或断裂
4. 增长性：对数函数增长缓慢

对数函数的连续性分析

连续性判定

对数函数在 $(0, +\infty)$ 上连续。

连续性证明

对数函数的连续性基于以下事实：

1. 反函数的连续性：连续函数的反函数连续
2. 指数函数连续：指数函数 $e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 对数函数是指数函数的反函数：$\ln x$ 是 $e^x$ 的反函数
4. 因此对数函数连续：$\ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

复合函数的连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续且 $f(x_0) > 0$，则 $\ln f(x)$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1：$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \ln(x^2 - 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
• 因此 $f(x)$ 在 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ 上连续

例子 3：$f(x) = \ln(\cos x)$

分析：

• 内函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $\cos x > 0$
• 因此 $f(x)$ 在所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值处连续

对数函数与指数函数的关系

互为反函数

对数函数和指数函数互为反函数：

• $\ln(e^x) = x$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$
• $e^{\ln x} = x$ 对所有 $x > 0$

复合函数

例子：$f(x) = e^{\ln x}$

分析：

• 内函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $g(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 实际上 $f(x) = x$（当 $x > 0$ 时）

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：分析复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路：分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
4. 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

答案：连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$。

练习 3

判断函数 $f(x) = \ln(\cos x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路：分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $\cos x > 0$
4. 因此连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值

答案：连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值。

练习 4

判断函数 $f(x) = \log_2 x$ 在 $(0, +\infty)$ 上的连续性。

参考答案

解题思路：一般对数函数在其定义域内连续。

详细步骤：

1. $f(x) = \log_2 x$ 是一般对数函数，底数 $a = 2 > 1$
2. 对数函数的定义域是 $(0, +\infty)$
3. 对数函数在定义域内处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

答案：函数在 $(0, +\infty)$ 上连续。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集
$\ln$	数学符号	自然对数	以 $e$ 为底的对数
$\log_a$	数学符号	对数	以 $a$ 为底的对数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
对数函数	logarithmic function	/lɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = \log_a x$ 的函数
自然对数函数	natural logarithmic function	/ˈnætʃərəl lɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	以 $e$ 为底的对数函数 $f(x) = \ln x$
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	由多个函数复合而成的函数
连续性	continuity	/kɒntɪˈnjuːəti/	函数在某点没有跳跃或断裂的性质
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互为逆运算的函数

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