连续性的基本概念

连续性是函数的一种重要性质，直观上讲就是函数的图形没有中断。理解连续性对于学习微积分具有重要意义。

连续性的定义

函数连续性的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续。

数学语言表述

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，当且仅当：

1. $f(x_0)$ 存在（函数在该点有定义）
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

等价定义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，当且仅当：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。

连续性的几何意义

直观理解

连续性的几何意义是：函数图像在连续点处没有”跳跃”或”断裂”。

• 连续点：函数图像在该点处是”连在一起”的
• 不连续点：函数图像在该点处有”跳跃”或”断裂”

图形特征

1. 连续函数：函数图像是一条连续的曲线
2. 不连续函数：函数图像在某些点处有跳跃或断裂

连续函数示例

不连续函数示例

连续性的判定方法

1. 定义法

直接使用连续性的定义进行判定：

• 检查函数在该点是否有定义
• 计算函数在该点的极限
• 比较极限值与函数值

2. 极限法

利用极限的性质判定连续性：

• 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则函数在 $x_0$ 点连续
• 如果极限不存在或极限值不等于函数值，则函数在该点不连续

3. 左右极限法

对于分段函数，可以分别计算左右极限：

• 如果 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则函数在 $x_0$ 点连续

连续性的基本性质

1. 局部性质

• 局部有界性：如果函数在 $x_0$ 点连续，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得函数在该邻域内有界
• 局部保号性：如果函数在 $x_0$ 点连续且 $f(x_0) > 0$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得函数在该邻域内恒为正

2. 运算性质

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x_0$ 点连续，则：

1. 和差连续性：$f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 点连续
2. 积连续性：$f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 点连续
3. 商连续性：$\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 点连续（其中 $g(x_0) \neq 0$）
4. 复合连续性：$f(g(x))$ 在 $x_0$ 点连续（其中 $g(x)$ 在 $x_0$ 点连续，$f(x)$ 在 $g(x_0)$ 点连续）

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^2 + 1$ 在 $x = 2$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 使用连续性的定义进行判定。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 2$ 处有定义：$f(2) = 2^2 + 1 = 5$

2. 计算极限：$\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$

3. 比较：$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 5$

答案：函数在 $x = 2$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义

2. 因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 3

判断分段函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，看三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$

2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2 \times 1 - 1 = 1$

3. 函数值：$f(1) = 1^2 = 1$

4. 三者相等，因此函数在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

考研真题

真题 1

设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ 2x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = 0^2 = 0$
4. 左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续。

真题 2

已知函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续，且 $f(a) > 0$，证明存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - a| < \delta$ 时，$f(x) > 0$。

参考答案

解题思路： 利用连续函数的局部保号性。

详细步骤：

1. 由 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续，$f(a) > 0$
2. 令 $\varepsilon = \frac{f(a)}{2} > 0$
3. 根据连续性定义，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - a| < \delta$ 时，$|f(x) - f(a)| < \varepsilon$
4. 则 $f(x) > f(a) - \varepsilon = \frac{f(a)}{2} > 0$

答案：存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - a| < \delta$ 时，$f(x) > 0$。

真题 3

判断函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性，并说明理由。

参考答案

解题思路： 检查函数在 $x = 0$ 处的定义和极限。

详细步骤：

1. $f(0)$ 未定义，但可作适当延拓
2. 计算极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
3. 若定义 $f(0) = 1$，则函数在 $x = 0$ 处连续；若 $f(0)$ 未定义，则不连续

答案：若定义 $f(0) = 1$，则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，否则不连续。