三角函数的连续性

三角函数是微积分中的重要函数类型，理解它们的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

三角函数具有以下基本性质：

• 周期性：具有周期性特征
• 连续性：$\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 不连续性：$\tan x$ 和 $\cot x$ 在特定点处不连续
• 图像特征：平滑的曲线，无跳跃或断裂

连续三角函数

正弦函数和余弦函数

正弦函数：$f(x) = \sin x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 周期为 $2\pi$
• 值域：$[-1, 1]$

余弦函数：$f(x) = \cos x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 周期为 $2\pi$
• 值域：$[-1, 1]$

连续性证明

定理：$\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

证明思路：

1. 利用三角函数的定义和极限性质
2. 证明在任意点 $x_0$ 处连续
3. 利用三角函数的周期性

不连续三角函数

正切函数

定义：$f(x) = \tan x$

性质：

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $\pi$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在不连续点处有垂直渐近线

不连续点分析：

• 不连续点：$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）
• 左极限：$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^-} \tan x = +\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^+} \tan x = -\infty$
• 这些是第二类不连续点

余切函数

定义：$f(x) = \cot x$

性质：

• 定义域：$x \neq k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $\pi$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在不连续点处有垂直渐近线

不连续点分析：

• 不连续点：$x = k\pi$（$k$ 为整数）
• 左极限：$\lim_{x \to (k\pi)^-} \cot x = -\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to (k\pi)^+} \cot x = +\infty$
• 这些是第二类不连续点

正割函数和余割函数

正割函数：$f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}$

性质：

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $2\pi$
• 在不连续点处有垂直渐近线

余割函数：$f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x}$

性质：

• 定义域：$x \neq k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $2\pi$
• 在不连续点处有垂直渐近线

复合三角函数的连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 $\sin(f(x))$ 和 $\cos(f(x))$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1：$f(x) = \sin(x^2)$

分析：

• 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \cos(\ln x)$

分析：

• 内函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

例子 3：$f(x) = \tan(x^2)$

分析：

• 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = \tan x$ 在定义域内连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在定义域内连续
• 不连续点：当 $x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 时，即 $x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + k\pi}$

三角函数的图像特征

图像特征总结

1. 周期性：三角函数具有周期性，图像重复出现
2. 平滑性：在定义域内，三角函数的图像是平滑的曲线
3. 渐近线：不连续点处有垂直渐近线
4. 对称性：$\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数

三角函数的应用

1. 物理建模

三角函数在物理学中有广泛应用：

• 振动：描述简谐振动
• 波动：描述各种波动现象
• 周期现象：描述周期性物理现象

2. 工程应用

三角函数在工程中有重要应用：

• 信号处理：傅里叶分析
• 电路分析：交流电路分析
• 机械设计：运动学分析

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 利用初等函数连续性的基本结论。

详细步骤：

1. $\sin x$ 是基本初等函数（三角函数）
2. 根据初等函数连续性定理，一切初等函数在其定义域内连续
3. $\sin x$ 的定义域是 $\mathbb{R}$

答案：$\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \tan(x^2)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \tan x$ 在定义域内连续
3. 由于 $x^2 \geq 0$，且 $\tan x$ 在 $x = 0$ 处连续
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 3

判断函数 $f(x) = \cos(\ln x)$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
4. 特别地，$f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

练习 4

判断函数 $f(x) = \tan(\sin x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \tan x$ 在定义域内连续
3. 由于 $\sin x \in [-1, 1]$，且 $\tan x$ 在 $[-1, 1]$ 内连续
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 5

判断函数 $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义
2. 因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = \sin 0 = 0$
4. 左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，这是一个跳跃不连续点。