有理函数的不连续性

有理函数是多项式函数的商，在分母为零的点处不连续。理解有理函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

基本性质

有理函数具有以下基本性质：

• 定义域：除分母为零的点外的全体实数
• 连续性：在定义域内连续
• 不连续点：在分母为零的点处不连续
• 渐近线：可能有垂直渐近线和水平渐近线

有理函数的定义

定义：形如 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数称为有理函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式函数，且 $Q(x) \neq 0$。

有理函数的不连续性分析

不连续点类型

有理函数的不连续点主要有以下几种类型：

1. 可去不连续点：极限存在但函数值未定义
2. 跳跃不连续点：左右极限存在但不相等
3. 无穷不连续点：极限趋向无穷

连续性判定

有理函数 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 的连续性：

1. 定义域内连续：在 $Q(x) \neq 0$ 的点处连续
2. 不连续点：在 $Q(x) = 0$ 的点处不连续
3. 可去不连续点：如果 $P(x_0) = Q(x_0) = 0$，且 $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ 存在，则可以通过定义 $f(x_0)$ 使函数在该点连续

常见有理函数例子

1. 简单有理函数

例子 1：$f(x) = \frac{1}{x}$

分析：

• 定义域：$x \neq 0$
• 在 $x = 0$ 处不连续
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$
• 这是一个第二类不连续点

例子 2：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

分析：

• 定义域：$x \neq 1$
• 在 $x = 1$ 处不连续
• 可以化简为 $f(x) = x + 1$（当 $x \neq 1$ 时）
• 如果定义 $f(1) = 2$，则函数在 $x = 1$ 处连续

2. 复杂有理函数

例子 3：$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$

分析：

• 定义域：$x \neq 0$
• 在 $x = 0$ 处不连续
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 1}{x} = -\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 1}{x} = +\infty$
• 这是一个第二类不连续点

例子 4：$f(x) = \frac{1}{x^2}$

分析：

• 定义域：$x \neq 0$
• 在 $x = 0$ 处不连续
• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$
• 虽然左右极限相等，但函数在该点无定义，因此不连续

有理函数的图像特征

图像特征总结

1. 平滑性：在定义域内，有理函数的图像是平滑的曲线
2. 渐近线：可能有垂直渐近线和水平渐近线
3. 不连续点：在分母为零的点处有垂直渐近线或可去不连续点
4. 局部性质：在连续点附近，函数值的变化是渐进的

有理函数的应用

1. 函数建模

有理函数在科学和工程中有广泛应用：

• 物理建模：描述各种物理现象
• 经济建模：描述成本、收益等经济关系
• 工程应用：描述各种工程参数

2. 函数逼近

有理函数可以用来逼近其他复杂函数：

• 帕德逼近：用有理函数逼近复杂函数
• 插值：通过已知点构造有理函数

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 在 $x = 2$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 当 $x = 2$ 时，分母 $x - 2 = 0$
2. 因此函数在 $x = 2$ 处无定义
3. 函数在 $x = 2$ 处不连续

答案：函数在 $x = 2$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 2

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义和极限。

详细步骤：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义
2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$
3. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$
4. 虽然左右极限相等，但函数在该点无定义，因此不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续。

练习 3

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，求常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

参考答案

解题思路： 利用连续性的定义，使函数值等于极限值。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
2. 根据连续性定义：$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$
3. 因此 $a = 2$

答案：$a = 2$。

练习 4

设函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，求 $f(x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 分析有理函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 分母为零时：$x - 1 = 0$，即 $x = 1$
2. 定义域：$x \neq 1$，即 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$
3. 有理函数在其定义域内连续
4. 因此连续区间为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$

答案：连续区间为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

练习 5

判断函数 $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 当 $x = 1$ 时，分母 $x^2 - 1 = 0$
2. 因此函数在 $x = 1$ 处无定义
3. 函数在 $x = 1$ 处不连续

答案：函数在 $x = 1$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，求常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

参考答案

解题思路： 利用连续性的定义，使函数值等于极限值。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3$
2. 根据连续性定义：$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$
3. 因此 $a = 3$

答案：$a = 3$。