有理函数的连续性

有理函数是多项式函数的商，在微积分中具有重要地位。理解有理函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

有理函数具有以下基本性质：

• 定义域：除分母为零的点外的全体实数
• 连续性：在定义域内连续
• 不连续点：在分母为零的点处不连续
• 渐近线：可能有垂直渐近线和水平渐近线

有理函数的定义

定义：形如 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数称为有理函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式函数，且 $Q(x) \neq 0$。

有理函数的连续性

基本定理

定理：有理函数在其定义域内连续。

连续性分析

有理函数 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 的连续性：

1. 定义域内连续：在 $Q(x) \neq 0$ 的点处连续
2. 不连续点：在 $Q(x) = 0$ 的点处不连续
3. 可去不连续点：如果 $P(x_0) = Q(x_0) = 0$，且 $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ 存在，则可以通过定义 $f(x_0)$ 使函数在该点连续

常见有理函数

1. 简单有理函数

例子 1：$f(x) = \frac{1}{x}$

分析：

• 定义域：$x \neq 0$
• 在 $x = 0$ 处不连续
• 有垂直渐近线 $x = 0$
• 有水平渐近线 $y = 0$

例子 2：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

分析：

• 定义域：$x \neq 1$
• 在 $x = 1$ 处不连续
• 可以化简为 $f(x) = x + 1$（当 $x \neq 1$ 时）
• 如果定义 $f(1) = 2$，则函数在 $x = 1$ 处连续

2. 复杂有理函数

例子 3：$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

分析：

• 定义域：$\mathbb{R}$（分母恒大于零）
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
• 图像是一条平滑的曲线
• 有水平渐近线 $y = 0$

例子 4：$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$

分析：

• 定义域：$x \neq 0$
• 在 $x = 0$ 处不连续
• 有垂直渐近线 $x = 0$
• 没有水平渐近线

有理函数的图像特征

图像特征总结

1. 平滑性：在定义域内，有理函数的图像是平滑的曲线
2. 渐近线：可能有垂直渐近线和水平渐近线
3. 不连续点：在分母为零的点处有垂直渐近线或可去不连续点
4. 局部性质：在连续点附近，函数值的变化是渐进的

有理函数的应用

1. 函数建模

有理函数在科学和工程中有广泛应用：

• 物理建模：描述各种物理现象
• 经济建模：描述成本、收益等经济关系
• 工程应用：描述各种工程参数

2. 函数逼近

有理函数可以用来逼近其他复杂函数：

• 帕德逼近：用有理函数逼近复杂函数
• 插值：通过已知点构造有理函数

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 在 $x = 2$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 当 $x = 2$ 时，分母 $x - 2 = 0$
2. 因此函数在 $x = 2$ 处无定义
3. 函数在 $x = 2$ 处不连续

答案：函数在 $x = 2$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 2

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 分析有理函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 分母为零时：$x - 1 = 0$，即 $x = 1$
2. 定义域：$x \neq 1$，即 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$
3. 有理函数在其定义域内连续
4. 因此连续区间为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$

答案：函数在 $x = 1$ 处不连续，连续区间为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

练习 3

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，求常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

参考答案

解题思路： 利用连续性的定义，使函数值等于极限值。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
2. 根据连续性定义：$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$
3. 因此 $a = 2$

答案：$a = 2$。

练习 4

设函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，求 $f(x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 分析有理函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 分母为零时：$x - 1 = 0$，即 $x = 1$
2. 定义域：$x \neq 1$，即 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$
3. 有理函数在其定义域内连续
4. 因此连续区间为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$

答案：连续区间为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

练习 5

判断函数 $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

参考答案

解题思路： 检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

1. 当 $x = 1$ 时，分母 $x^2 - 1 = 0$
2. 因此函数在 $x = 1$ 处无定义
3. 函数在 $x = 1$ 处不连续

答案：函数在 $x = 1$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$，求常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

参考答案

解题思路： 利用连续性的定义，使函数值等于极限值。

详细步骤：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1) = 3$
2. 根据连续性定义：$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$
3. 因此 $a = 3$

答案：$a = 3$。