指数函数和对数函数的连续性

指数函数和对数函数是微积分中的重要函数类型，理解它们的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

基本性质

指数函数和对数函数具有以下基本性质：

• 单调性：指数函数和对数函数都是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 反函数关系：指数函数和对数函数互为反函数
• 图像特征：平滑的曲线，无跳跃或断裂

指数函数的连续性

基本指数函数

自然指数函数：$f(x) = e^x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 图像是单调递增的指数曲线
• 值域：$(0, +\infty)$

一般指数函数：$f(x) = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$(0, +\infty)$

指数函数的连续性证明

定理：指数函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

证明思路：

1. 利用指数函数的单调性
2. 利用极限的性质
3. 证明在任意点 $x_0$ 处连续

对数函数的连续性

基本对数函数

自然对数函数：$f(x) = \ln x$

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 图像是单调递增的对数曲线
• 值域：$\mathbb{R}$

一般对数函数：$f(x) = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$\mathbb{R}$

对数函数的连续性证明

定理：对数函数在其定义域内连续。

证明思路：

1. 利用对数函数的单调性
2. 利用极限的性质
3. 证明在定义域内任意点处连续

复合指数函数和对数函数

复合指数函数

例子 1：$f(x) = e^{x^2}$

分析：

• 内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = a^{\sin x}$（$a > 0, a \neq 1$）

分析：

• 内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

复合对数函数

例子 1：$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $g(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
• 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \ln(x^2 - 1)$

分析：

• 内函数 $g(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
• 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

指数函数和对数函数的图像特征

图像特征总结

1. 平滑性：指数函数和对数函数的图像是平滑的曲线，没有尖角或断裂
2. 单调性：指数函数和对数函数在其定义域内单调
3. 渐近线：对数函数有垂直渐近线 $x = 0$
4. 增长性：指数函数增长快速，对数函数增长缓慢

指数函数和对数函数的应用

1. 科学建模

指数函数和对数函数在科学中有广泛应用：

• 人口增长：描述人口增长模型
• 放射性衰变：描述放射性物质的衰变
• 化学反应：描述化学反应速率

2. 经济应用

指数函数和对数函数在经济学中有重要应用：

• 复利计算：描述资金增长
• 通货膨胀：描述物价变化
• 经济增长：描述经济发展

3. 工程应用

指数函数和对数函数在工程中有重要应用：

• 信号处理：描述信号衰减
• 电路分析：描述电容充放电
• 热传导：描述温度变化

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 指数函数在其定义域内处处连续。

详细步骤：

1. $f(x) = e^x$ 是指数函数
2. 指数函数的定义域是 $\mathbb{R}$
3. 指数函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
4. 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 分析复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
4. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 3

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
4. 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

答案：连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$。

练习 4

判断函数 $f(x) = e^{\sin x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

参考答案

解题思路： 利用复合函数的连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 5

判断函数 $f(x) = \ln(\cos x)$ 的连续区间。

参考答案

解题思路： 分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

1. 内函数 $g(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 外函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
3. 需要 $\cos x > 0$
4. 因此连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值

答案：连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值。

练习 6

已知 $f(x) = \ln(2x - 3)$，判断其连续区间。

参考答案

解题思路： 分析对数函数的定义域。

详细步骤：

1. $2x - 3 > 0 \implies x > \frac{3}{2}$
2. 因此定义域为 $(\frac{3}{2}, +\infty)$
3. 对数函数在其定义域内连续

答案：函数在 $(\frac{3}{2}, +\infty)$ 上连续。