一元函数基础

什么是函数

在数学中，函数是一种特殊的对应关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）唯一地对应到另一个集合中的一个元素（称为因变量）。

函数的定义

对于一元函数 $f(x)$：

• 定义域：自变量 $x$ 可以取的所有值的集合
• 值域：因变量 $f(x)$ 可以取的所有值的集合
• 对应关系：每个 $x$ 值对应唯一的 $f(x)$ 值

函数的表示方法

1. 解析式：$f(x) = x^2 + 2x + 1$
2. 表格：列出 $x$ 和 $f(x)$ 的对应值
3. 图像：在坐标系中画出函数的图形

常见的一元函数类型

1. 幂函数

形式：$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数

常见例子：

• $f(x) = x$（一次函数，直线）
• $f(x) = x^2$（二次函数，抛物线）
• $f(x) = x^3$（三次函数）
• $f(x) = \frac{1}{x}$（反比例函数）

2. 指数函数

形式：$f(x) = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$

特点：

• 当 $a > 1$ 时，函数单调递增
• 当 $0 < a < 1$ 时，函数单调递减
• 图像总是通过点 $(0, 1)$

常见例子：

• $f(x) = 2^x$
• $f(x) = e^x$（自然指数函数，$e \approx 2.718$）

3. 对数函数

形式：$f(x) = \log_a x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$

特点：

• 定义域：$x > 0$
• 当 $a > 1$ 时，函数单调递增
• 当 $0 < a < 1$ 时，函数单调递减
• 图像总是通过点 $(1, 0)$

常见例子：

• $f(x) = \ln x$（自然对数函数）
• $f(x) = \log_{10} x$（常用对数函数）

4. 三角函数

基本三角函数：

• $f(x) = \sin x$（正弦函数）
• $f(x) = \cos x$（余弦函数）
• $f(x) = \tan x$（正切函数）

特点：

• 都是周期函数
• $\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期是 $2\pi$
• $\tan x$ 的周期是 $\pi$

5. 多项式函数

形式：$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

常见例子：

• $f(x) = 2x + 3$（一次多项式）
• $f(x) = x^2 - 4x + 3$（二次多项式）
• $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$（三次多项式）

多元函数简介

在数学中，除了我们刚才学习的一元函数（只有一个自变量），还有多元函数，它们有多个自变量。

二元函数

定义：$f(x, y)$ 是一个二元函数，其中 $x$ 和 $y$ 都是自变量。

例子：

• $f(x, y) = x^2 + y^2$（表示到原点的距离的平方）
• $f(x, y) = xy$（两个变量的乘积）
• $f(x, y) = \sin(x + y)$（正弦函数）

三元函数

定义：$f(x, y, z)$ 是一个三元函数，有三个自变量。

例子：

• $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$（三维空间中到原点的距离的平方）
• $f(x, y, z) = xyz$（三个变量的乘积）

多元函数的特点

1. 定义域：是多个变量的取值集合，通常用坐标点表示
2. 图像：二元函数的图像是三维空间中的曲面
3. 偏导数：多元函数有偏导数的概念，表示函数对某个变量的变化率

与一元函数的关系

• 一元函数是多元函数的特例（只有一个自变量）
• 积分学主要研究一元函数的积分，但多元函数的积分（重积分）也是重要的数学工具
• 在实际应用中，多元函数比一元函数更常见，因为现实世界中的问题通常涉及多个变量

注意：本课程主要关注一元函数的积分学，多元函数的积分将在更高级的课程中学习。

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 的奇偶性。

参考答案

解题思路： 要判断函数的奇偶性，需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

详细步骤：

1. 计算 $f(-x)$： $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1 = x^2 - 2x + 1$

2. 比较 $f(-x)$ 与 $f(x)$：

   • $f(x) = x^2 + 2x + 1$
   • $f(-x) = x^2 - 2x + 1$

3. 由于 $f(-x) \neq f(x)$ 且 $f(-x) \neq -f(x)$，所以函数既不是偶函数也不是奇函数。

答案： 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 既不是偶函数也不是奇函数。

练习 2

求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的零点。

参考答案

解题思路： 零点是指满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值，需要解方程 $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$。

详细步骤：

1. 将方程 $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$ 因式分解： $x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) = x(x - 1)(x - 2)$

2. 因此方程可以写成：$x(x - 1)(x - 2) = 0$

3. 根据零因子法则，当且仅当 $x = 0$ 或 $x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$ 时，等式成立。

4. 解得：$x = 0$，$x = 1$，$x = 2$

答案： 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的零点是 $x = 0$，$x = 1$，$x = 2$。

练习 3

已知 $f(x) = x^2$，$g(x) = x + 1$，求复合函数 $(f \circ g)(x)$ 和 $(g \circ f)(x)$。

参考答案

解题思路： 复合函数的定义是 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$，$(g \circ f)(x) = g(f(x))$。

详细步骤：

1. 计算 $(f \circ g)(x)$： $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

2. 计算 $(g \circ f)(x)$： $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$

答案：

• $(f \circ g)(x) = x^2 + 2x + 1$
• $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$

注意：复合函数不满足交换律，即 $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$。

练习 4

判断函数 $f(x) = \sin x$ 的单调性。

参考答案

解题思路： 要判断函数的单调性，需要分析函数在不同区间的变化趋势。对于三角函数，可以利用其周期性来分析。

详细步骤：

1. 正弦函数 $f(x) = \sin x$ 是周期函数，周期为 $2\pi$。

2. 在一个周期 $[0, 2\pi]$ 内分析：

   • 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上：$\sin x$ 从 0 增加到 1，单调递增
   • 在 $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ 上：$\sin x$ 从 1 减少到 -1，单调递减
   • 在 $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ 上：$\sin x$ 从 -1 增加到 0，单调递增

3. 由于函数的周期性，这个模式会在整个实数轴上重复。

答案： 函数 $f(x) = \sin x$ 不是单调函数。它在某些区间上单调递增，在另一些区间上单调递减，具体来说：

• 在 $[2k\pi, 2k\pi + \frac{\pi}{2}]$ 和 $[2k\pi + \frac{3\pi}{2}, 2k\pi + 2\pi]$ 上单调递增
• 在 $[2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}]$ 上单调递减 其中 $k$ 是任意整数。