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一元函数积分学

练习题

基础练习题

练习 1

计算不定积分 ∫(3x2−2x+1)dx\int (3x^2 - 2x + 1) dx。

参考答案

解题思路： 使用线性性质和基本积分公式。

详细步骤：

  1. ∫3x2dx=3⋅x33=x3\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
  2. ∫−2xdx=−2⋅x22=−x2\int -2x dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2
  3. ∫1dx=x\int 1 dx = x
  4. 所以 ∫(3x2−2x+1)dx=x3−x2+x+C\int (3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C

答案：x3−x2+x+Cx^3 - x^2 + x + C

练习 2

计算不定积分 ∫1x2dx\int \frac{1}{x^2} dx。

参考答案

解题思路： 使用幂函数积分公式。

详细步骤：

  1. ∫1x2dx=∫x−2dx\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx
  2. =x−1−1+C=−1x+C= \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C

答案：−1x+C-\frac{1}{x} + C

练习 3

计算不定积分 ∫e3xdx\int e^{3x} dx。

参考答案

解题思路： 使用凑微分法。

详细步骤：

  1. 设 u=3xu = 3x，则 du=3dxdu = 3dx
  2. ∫e3xdx=13∫eudu=13eu+C=13e3x+C\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}\int e^u du = \frac{1}{3}e^u + C = \frac{1}{3}e^{3x} + C

答案：13e3x+C\frac{1}{3}e^{3x} + C

练习 4

计算不定积分 ∫sin⁡xdx\int \sin x dx。

参考答案

解题思路： 使用三角函数积分公式。

详细步骤：

  1. 使用公式：∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C

答案：−cos⁡x+C-\cos x + C

进阶练习题

练习 5

计算不定积分 ∫xex2dx\int x e^{x^2} dx。

参考答案

解题思路： 使用凑微分法，设 u=x2u = x^2。

详细步骤：

  1. 设 u=x2u = x^2，则 du=2xdxdu = 2x dx，所以 dx=du2xdx = \frac{du}{2x}
  2. ∫xex2dx=∫xeu⋅du2x=12∫eudu\int x e^{x^2} dx = \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^u du
  3. 12∫eudu=12eu+C=12ex2+C\frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

答案：12ex2+C\frac{1}{2}e^{x^2} + C

练习 6

计算不定积分 ∫sin⁡2xdx\int \sin^2 x dx。

参考答案

解题思路： 使用三角恒等变换。

详细步骤：

  1. 使用恒等式 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
  2. ∫sin⁡2xdx=∫1−cos⁡2x2dx=12x−14sin⁡2x+C\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C

答案：12x−14sin⁡2x+C\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C

练习 7

计算不定积分 ∫1x2+1dx\int \frac{1}{x^2 + 1} dx。

参考答案

解题思路： 使用反三角函数积分公式。

详细步骤：

  1. 使用公式：∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C

答案：arctan⁡x+C\arctan x + C

练习 8

计算不定积分 ∫1x2−1dx\int \frac{1}{x^2 - 1} dx。

参考答案

解题思路： 使用部分分式分解。

详细步骤：

  1. 1x2−1=1(x−1)(x+1)=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})
  2. ∫1x2−1dx=12(ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣)+C=12ln⁡∣x−1x+1∣+C\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2}(\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}| + C

答案：12ln⁡∣x−1x+1∣+C\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}| + C

综合练习题

练习 9

计算不定积分 ∫(x3+2x2+x+1)dx\int (x^3 + 2x^2 + x + 1) dx。

参考答案

解题思路： 使用线性性质和基本积分公式。

详细步骤：

  1. ∫x3dx=x44\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}
  2. ∫2x2dx=2⋅x33=2x33\int 2x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3}
  3. ∫xdx=x22\int x dx = \frac{x^2}{2}
  4. ∫1dx=x\int 1 dx = x
  5. 所以 ∫(x3+2x2+x+1)dx=x44+2x33+x22+x+C\int (x^3 + 2x^2 + x + 1) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

答案：x44+2x33+x22+x+C\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

练习 10

计算不定积分 ∫cos⁡2xdx\int \cos^2 x dx。

参考答案

解题思路： 使用三角恒等变换。

详细步骤：

  1. 使用恒等式 cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
  2. ∫cos⁡2xdx=∫1+cos⁡2x2dx=12∫(1+cos⁡2x)dx\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx
  3. 12∫(1+cos⁡2x)dx=12(x+12sin⁡2x)+C=x2+sin⁡2x4+C\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

答案：x2+sin⁡2x4+C\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

练习 11

计算不定积分 ∫xx2+1dx\int \frac{x}{x^2 + 1} dx。

参考答案

解题思路： 使用凑微分法。

详细步骤：

  1. 设 u=x2+1u = x^2 + 1，则 du=2xdxdu = 2x dx，所以 dx=du2xdx = \frac{du}{2x}
  2. ∫xx2+1dx=∫xu⋅du2x=12∫1udu\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du
  3. 12∫1udu=12ln⁡∣u∣+C=12ln⁡(x2+1)+C\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C

答案：12ln⁡(x2+1)+C\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C

练习 12

验证积分 ∫(ex+sin⁡x)dx=ex−cos⁡x+C\int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x + C 是否正确。

参考答案

解题思路： 通过求导验证积分结果。

详细步骤：

  1. 计算 ddx(ex−cos⁡x+C)\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + C)： ddx(ex−cos⁡x+C)=ex+sin⁡x\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + C) = e^x + \sin x

  2. 比较结果：

    • 被积函数：ex+sin⁡xe^x + \sin x
    • 导数结果：ex+sin⁡xe^x + \sin x

  3. 由于导数结果等于被积函数，所以积分结果正确。

答案：积分结果正确。

挑战练习题

练习 13

计算不定积分 ∫11−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx。

参考答案

解题思路： 使用反三角函数积分公式。

详细步骤：

  1. 使用公式：∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C

答案：arcsin⁡x+C\arcsin x + C

注意：这个积分的定义域是 ∣x∣<1|x| < 1。

练习 14

计算不定积分 ∫tan⁡xdx\int \tan x dx。

参考答案

解题思路： 使用三角恒等变换和凑微分法。

详细步骤：

  1. tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
  2. 设 u=cos⁡xu = \cos x，则 du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx，所以 dx=−dusin⁡xdx = -\frac{du}{\sin x}
  3. ∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫sin⁡xu⋅(−dusin⁡x)=−∫1udu\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{\sin x}{u} \cdot (-\frac{du}{\sin x}) = -\int \frac{1}{u} du
  4. −∫1udu=−ln⁡∣u∣+C=−ln⁡∣cos⁡x∣+C-\int \frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C

答案：−ln⁡∣cos⁡x∣+C-\ln|\cos x| + C

练习 15

计算不定积分 ∫1x2+2x+1dx\int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} dx。

参考答案

解题思路： 先完成平方，然后使用凑微分法。

详细步骤：

  1. x2+2x+1=(x+1)2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
  2. 设 u=x+1u = x + 1，则 du=dxdu = dx
  3. ∫1x2+2x+1dx=∫1(x+1)2dx=∫1u2du\int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} dx = \int \frac{1}{(x + 1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du
  4. ∫1u2du=−1u+C=−1x+1+C\int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x + 1} + C

答案：−1x+1+C-\frac{1}{x + 1} + C

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