定积分的定义

定积分的定义是积分理论的基础，它通过黎曼和的概念给出了积分的严格数学定义。

黎曼和的定义

黎曼和是由德国数学家 伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866） 在 19 世纪中叶提出的。黎曼是 19 世纪最重要的数学家之一，他在复分析、微分几何、数论等多个领域都有重大贡献。黎曼和的概念为定积分的严格定义奠定了基础，使得积分理论更加严谨和完整。

定义：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，将区间 $[a, b]$ 任意分割为 $n$ 个子区间：

a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b

在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$ ，作和式：

S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i

符号说明： $\xi_i$ 是希腊字母”xi”（读作”克西”），表示在第 $i$ 个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内任意选择的一个点。这个点的选择是任意的，可以是子区间的左端点、右端点、中点，或者区间内的任何其他点。不同的选择方式会得到不同的黎曼和，但当分割越来越细时，这些不同的黎曼和都会收敛到同一个极限值。

其中 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 。如果当最大子区间长度 $\max\{\Delta x_i\} \to 0$ 时，和式 $S_n$ 的极限存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作：

\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\{\Delta x_i\} \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i

符号说明：积分符号 $\int$ 来源于拉丁语”summa”（和）的首字母 S 的拉长形式，由德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）在 17 世纪末引入。

读法： $\int_a^b f(x) dx$ 读作”从 $a$ 到 $b$ 对 $f(x)$ 积分”或” $f(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分”。

定积分的几何意义

几何意义：定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$ 、直线 $x = a$ 、 $x = b$ 和 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。

注意：

当 $f(x) \geq 0$ 时，定积分表示面积
当 $f(x) < 0$ 时，定积分表示面积的负值
当 $f(x)$ 有正有负时，定积分表示面积的代数和

定积分的存在性

定理：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

推论：

连续函数在闭区间上可积
有界且只有有限个间断点的函数在闭区间上可积
单调函数在闭区间上可积

练习题

根据黎曼和的定义，计算 $\int_0^1 x dx$ 的近似值（取 $n=4$ ，每个子区间取中点）。

参考答案

解题思路：将区间 $[0,1]$ 分成 4 等份，每个子区间长度为 $\frac{1}{4}$ 。

详细步骤：

分割点： $x_0=0, x_1=\frac{1}{4}, x_2=\frac{1}{2}, x_3=\frac{3}{4}, x_4=1$
子区间： $[0,\frac{1}{4}], [\frac{1}{4},\frac{1}{2}], [\frac{1}{2},\frac{3}{4}], [\frac{3}{4},1]$
取中点： $\xi_1=\frac{1}{8}, \xi_2=\frac{3}{8}, \xi_3=\frac{5}{8}, \xi_4=\frac{7}{8}$
黎曼和： $S_4 = \sum_{i=1}^4 f(\xi_i) \Delta x_i = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{4} + \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{7}{8}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{8} = \frac{1}{2}$

答案： $\frac{1}{2}$

解释定积分 $\int_{-1}^1 x dx$ 的几何意义。

参考答案

解题思路：分析函数 $f(x) = x$ 在区间 $[-1,1]$ 上的图像和定积分的几何意义。

详细步骤：

函数 $f(x) = x$ 在 $[-1,0]$ 上为负，在 $[0,1]$ 上为正
$\int_{-1}^1 x dx$ 表示由曲线 $y=x$ 、直线 $x=-1$ 、 $x=1$ 和 $x$ 轴围成的面积的代数和
在 $[-1,0]$ 上的面积为负： $-\frac{1}{2}$
在 $[0,1]$ 上的面积为正： $\frac{1}{2}$
总面积： $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

答案：定积分表示面积的代数和，结果为 0