积分上限函数

积分上限函数是定积分理论中的重要概念，它将积分与微分联系起来，为牛顿-莱布尼茨公式的证明提供了基础。

从面积变化理解积分上限函数

为了更好地理解积分上限函数，让我们从一个具体的场景开始：面积累积的过程。

场景：水库蓄水问题

想象一个水库，水以变化的速率流入。设 $f(t)$ 表示在时刻 $t$ 的流入速率（单位：立方米/小时），那么从时刻 $0$ 到时刻 $x$ 的总蓄水量是多少？

思考过程：

1. 在任意时刻 $t$，流入速率为 $f(t)$
2. 在很短的时间间隔 $dt$ 内，流入的水量为 $f(t) \cdot dt$
3. 从 $0$ 到 $x$ 的总蓄水量为：$\int_0^x f(t) dt$

这个积分值随着 $x$ 的变化而变化，因此可以看作是关于 $x$ 的函数：

$F(x) = \int_0^x f(t) dt$

这就是积分上限函数！

基础可视化：面积累积过程

首先，让我们通过一个简单的例子来理解面积累积的过程：

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当前步骤：0/20

理解要点：

• 每个矩形的高度等于该点的函数值 f(x)
• 矩形的宽度是固定的步长
• 所有矩形的面积之和近似等于积分值
• 当步长越来越小时，近似值越来越精确
• 积分上限函数 F(x) 的值等于从0到x的积分面积

高级可视化：积分上限函数的完整理解

现在让我们通过更详细的交互式图表来观察积分上限函数：

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动画速度：

关键观察点：

• 当 x 增加时，积分面积（阴影区域）也在增加
• 积分上限函数 F(x) 的值等于从0到x的积分面积
• 导数 F'(x) 与原函数 f(x) 完全重合，验证了 F'(x) = f(x)
• 这说明了积分上限函数是原函数的一个原函数

通过这个可视化，你可以观察到：

1. 蓝色曲线：原函数 $f(x) = \sin(x) + 1$，表示某个时刻的变化率
2. 绿色曲线：积分上限函数 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$，表示累积的总量
3. 蓝色阴影区域：表示从 $0$ 到 $x$ 的积分面积
4. 红色点线：导数 $F'(x)$，它与原函数 $f(x)$ 完全重合

关键发现：积分上限函数的导数等于被积函数，即 $F'(x) = f(x)$！

更多生活化例子

例子 1：汽车行驶距离

• $f(t)$：汽车在时刻 $t$ 的瞬时速度
• $F(x) = \int_0^x f(t) dt$：从出发到时刻 $x$ 的总行驶距离
• $F'(x) = f(x)$：距离对时间的导数就是速度

例子 2：人口增长

• $f(t)$：在时刻 $t$ 的人口增长率
• $F(x) = \int_0^x f(t) dt$：从初始时刻到时刻 $x$ 的总人口增长量
• $F'(x) = f(x)$：总增长量对时间的导数就是增长率

例子 3：经济收入

• $f(t)$：在时刻 $t$ 的收入率
• $F(x) = \int_0^x f(t) dt$：从开始到时刻 $x$ 的总收入
• $F'(x) = f(x)$：总收入对时间的导数就是收入率

这些例子都体现了同一个数学原理：累积量对时间的导数等于瞬时变化率。

定义

积分上限函数：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数

$$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$

称为积分上限函数。

性质

基本性质

定理 1

积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且

$F'(x) = f(x)$

证明： 利用导数的定义和积分中值定理可以证明。

证明的详细过程

步骤 1：利用导数的定义

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{x+h} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt}{h}$

步骤 2：利用积分的区间可加性

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t) dt}{h}$

步骤 3：利用积分中值定理

根据积分中值定理，存在 $\xi \in [x, x+h]$（或 $[x+h, x]$），使得：

$\int_x^{x+h} f(t) dt = f(\xi) \cdot h$

步骤 4：取极限

$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi) = f(x)$

应用

基本应用

例子 1：设 $F(x) = \int_0^x \sin t dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = \sin x$

例子 2：设 $F(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = \frac{1}{x}$

复杂应用

例子 3：设 $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = e^{-x^2}$

例子 4：设 $F(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = \frac{\sin x}{x}$

积分上限函数的推广

变限积分

定理 2

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$u(x)$ 和 $v(x)$ 在 $[c, d]$ 上可导，则：

$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)$

证明： 利用积分上限函数和复合函数求导法则。

应用例子

例子 1：设 $F(x) = \int_0^{x^2} \sin t dt$，求 $F'(x)$

解：

• $F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x \sin(x^2)$

例子 2：考研真题应用

已知函数 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，$g(x) = \int_0^x e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x$，判断 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点还是拐点。

解：

1. 利用积分上限函数的导数性质：

   • $f'(x) = e^{x^2} \sin x$ （被积函数在积分上限处的值）
   • $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

2. 判断极值点和拐点：

   • $f'(0) = 0$ （因为 $\sin 0 = 0$）
   • $f''(0) = 1 > 0$ （因为 $\cos 0 = 1$）

3. 结论：$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点

关键点：这道题完美展示了积分上限函数的导数性质 $F'(x) = f(x)$ 在实际考试中的应用！

积分上限函数与牛顿-莱布尼茨公式

积分上限函数为牛顿-莱布尼茨公式的证明提供了重要工具：

1. 构造原函数：积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数
2. 证明基础：通过积分上限函数的性质，可以证明任意原函数与积分上限函数只相差一个常数
3. 公式推导：最终得到 $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

总结与理解要点

通过上面的学习，我们可以总结出积分上限函数的几个重要特点：

1. 几何意义

• 积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 表示从 $a$ 到 $x$ 的积分面积
• 当 $x$ 增加时，积分面积也在增加
• $F(x)$ 的值等于曲线 $f(x)$ 下方从 $a$ 到 $x$ 的面积

2. 微分关系

• 核心性质：$F'(x) = f(x)$
• 积分上限函数的导数等于被积函数
• 这建立了积分与微分的联系

3. 原函数关系

• 积分上限函数是被积函数的一个原函数
• 任意原函数与积分上限函数只相差一个常数
• 这为牛顿-莱布尼茨公式提供了基础

4. 应用价值

• 提供了计算定积分的新方法
• 连接了微分学和积分学
• 为微积分基本定理的证明奠定了基础

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练习题

习题 1

设 $F(x) = \int_0^x t^2 dt$，求 $F'(x)$。

参考答案

解题思路： 利用积分上限函数的导数性质。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数的性质：$F'(x) = f(x)$
2. 这里 $f(t) = t^2$，所以 $F'(x) = x^2$

答案：$F'(x) = x^2$

习题 2

设 $F(x) = \int_1^x \frac{1}{t^2} dt$，求 $F'(x)$。

参考答案

解题思路： 利用积分上限函数的导数性质。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数的性质：$F'(x) = f(x)$
2. 这里 $f(t) = \frac{1}{t^2}$，所以 $F'(x) = \frac{1}{x^2}$

答案：$F'(x) = \frac{1}{x^2}$

习题 3

设 $F(x) = \int_0^{x^3} \cos t dt$，求 $F'(x)$。

参考答案

解题思路： 利用变限积分的求导公式。

详细步骤：

1. 根据变限积分的求导公式：$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) dt = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)$
2. 这里 $u(x) = 0$，$v(x) = x^3$，$f(t) = \cos t$
3. $F'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 - \cos(0) \cdot 0 = 3x^2 \cos(x^3)$

答案：$F'(x) = 3x^2 \cos(x^3)$

习题 4

设 $f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \cos t\,dt$，求 $f'(0)$ 和 $f''(0)$，并判断 $x=0$ 是否为 $f(x)$ 的极值点。

参考答案

解题思路： 利用积分上限函数的导数性质，然后判断极值点。

详细步骤：

1. 求一阶导数：$f'(x) = e^{-x^2} \cos x$
2. 求二阶导数：$f''(x) = -2x e^{-x^2} \cos x - e^{-x^2} \sin x$
3. 计算在 $x=0$ 处的值：
   • $f'(0) = e^{-0^2} \cos 0 = 1$
   • $f''(0) = -2 \cdot 0 \cdot e^{-0^2} \cos 0 - e^{-0^2} \sin 0 = 0$
4. 判断极值点：由于 $f'(0) = 1 \neq 0$，所以 $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点

答案：$f'(0) = 1$，$f''(0) = 0$，$x=0$ 不是极值点

练习 5

改编自 2022 考研数学一第 1 题

设 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，其中 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(1)$ 的值。

参考答案

解题思路： 利用积分上限函数的导数性质和等价无穷小的性质。

详细步骤：

1. 由积分上限函数的导数性质：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 由 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，可得 $f(x)\sim \ln x$ 当 $x\to1$

3. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，所以 $\lim\limits_{x\to1} f(x)=0$

4. 设 $g(x)=\frac{f(x)}{\ln x}$，则 $f(x)=g(x)\ln x$

5. 应用乘积法则： $f'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}$

6. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，$\frac{1}{x}\to1$，$g(x)\to1$

7. 因此 $f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1$

答案：$f'(1)=1$

练习 6

改编自 2023 考研数学一第 3 题

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}$ 确定，且 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(0)$。

参考答案

解题思路： 使用参数方程求导公式，结合积分上限函数的导数性质。

详细步骤：

1. 当 $t\geq0$ 时，$x=3t, y=t\sin t$，所以 $y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$

2. 当 $t<0$ 时，$x=t, y=-t\sin t$，所以 $y=-x\sin x$

3. 因此 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}$

4. 计算左导数： $f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0$

5. 计算右导数： $f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0$

6. 由于左导数和右导数相等，所以 $f'(0)=0$

答案：$f'(0)=0$

练习 7

改编自 2024 考研数学一第 1 题

已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{\cos t}dt$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x)=e^{\cos x}$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导，使用复合函数求导： 设 $u=\cos x$，则 $f'(x)=e^u$

   $\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin x$

答案： $f'(x)=e^{\cos x}$ $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$

练习 8

改编自 2025 考研数学一第 1 题

已知函数 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

参考答案

解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导，使用乘积法则和复合函数求导： 设 $u = e^{x^2}$，$v = \sin x$

   $u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$（复合函数求导） $v' = \cos x$

3. 应用乘积法则： $f''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos x$ $= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

答案： $f'(x) = e^{x^2} \sin x$ $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

练习 9

改编自 2022 考研数学一第 17 题

设 $y=y(x)$ 满足 $y'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$，$y(1)=3$，且 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $f'(1)$ 的值。

参考答案

解题思路： 利用积分上限函数的导数性质和微分方程的求解。

详细步骤：

1. 由积分上限函数的导数性质：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 因此 $f'(1) = e^{1^2} \sin 1 = e \sin 1$

3. 注意：虽然题目给出了微分方程，但 $f(x)$ 是积分上限函数，其导数直接由被积函数在积分上限处的值给出

答案：$f'(1) = e \sin 1$

练习 10

改编自 2023 考研数学一第 14 题

设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x$，$\int_0^2 f(x)dx=0$，且 $F(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，求 $F'(0)$ 和 $F''(0)$。

参考答案

解题思路： 利用积分上限函数的导数性质计算。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数的导数性质：$F'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 因此 $F'(0) = e^{0^2} \sin 0 = 0$

3. 对 $F'(x)$ 再次求导： $F''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

4. 因此 $F''(0) = 2 \cdot 0 \cdot e^{0^2} \sin 0 + e^{0^2} \cos 0 = 1$

答案： $F'(0) = 0$ $F''(0) = 1$