积分学的基本思想

问题

想象你是一个 17 世纪的数学家，面临一个看似简单的问题：如何计算一个不规则图形的面积？

比如：

当时人们已经知道：

但是，如何计算不规则图形的面积呢？

有一天，数学家们发现了一个神奇的现象：

如果把不规则图形分成很多很窄的矩形条，那么：

这样，就可以用简单的矩形来计算复杂图形的面积！

矩形条数量：8

调整矩形条的数量，观察如何将不规则图形分割成矩形条来计算面积。

当矩形条越来越窄时，近似面积越来越接近真实面积。

现在让我们来看看具体如何计算这些矩形条的总面积。

首先，我们将 x 轴上的区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个等宽的小区间：

对于第 $i$ 个矩形条：

所有矩形条的总面积就是：

$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$

这个公式表示：

关于求和符号 $\sum$

$\sum$ 是希腊字母”西格玛”（Sigma），表示求和。 $\sum_{i=1}^{n}$ 表示将 $i$ 从 1 到 $n$ 的所有项相加。

例如： $\sum_{i=1}^{3} i = 1 + 2 + 3 = 6$

当矩形条数量 $n$ 趋向于无穷大时（即 $\Delta x$ 趋向于 0），近似面积 $S_n$ 趋向于真实面积：

\text{真实面积} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x

关于极限符号 $\lim$

$\lim$ 是”limit”的缩写，表示极限。 $\lim_{n \to \infty}$ 表示当 $n$ 趋向于无穷大时的极限值。

例如： $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，表示当 $n$ 越来越大时， $\frac{1}{n}$ 的值越来越接近 0。