定积分的性质

定积分的性质是积分理论的重要组成部分，这些性质不仅有助于理解积分的本质，也为积分的计算提供了重要的工具。

线性性质

基本线性性质

定理 1

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$k$ 为常数，则：

1. $\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
2. $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$

证明： 利用积分的线性性质和极限的线性性质即可证明。

应用例子

例子：计算 $\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx$

解：

• $\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx = 2\int_0^1 x^2 dx + 3\int_0^1 x dx$
• $= 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}$

区间可加性

基本定理

定理 2

设 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上可积，$b \in (a, c)$，则：

$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

几何解释：曲边梯形的面积等于两个子区间上曲边梯形面积的和。

应用例子

例子：计算 $\int_0^2 x^2 dx$

解：

• $\int_0^2 x^2 dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 x^2 dx$
• $= \frac{1}{3} + [\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

积分保号性

基本定理

定理 3

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

1. 如果 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$
2. 如果 $f(x) > 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx > 0$

应用例子

例子：证明 $\int_0^1 x^2 dx > 0$

解：

• 在 $[0, 1]$ 上，$x^2 \geq 0$ 且只在 $x = 0$ 时等于 0
• 由于 $x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续且非负，根据积分保号性，$\int_0^1 x^2 dx \geq 0$
• 进一步，由于 $x^2 > 0$ 在 $(0, 1]$ 上成立，所以 $\int_0^1 x^2 dx > 0$

积分中值定理

基本定理

定理 4

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$

几何解释：存在一个矩形，其面积等于曲边梯形的面积，这个矩形的高就是函数在区间内某点的值。

应用例子

例子：对于函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上，求满足积分中值定理的点 $\xi$

解：

• $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
• 根据积分中值定理：$\frac{1}{3} = \xi^2 \cdot 1$
• 所以 $\xi^2 = \frac{1}{3}$，即 $\xi = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

积分的比较性质

基本定理

定理 5

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \leq g(x)$，则：

$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$

应用例子

例子：比较 $\int_0^1 x^2 dx$ 和 $\int_0^1 x dx$

解：

• 在 $[0, 1]$ 上，$x^2 \leq x$（因为 $x^2 - x = x(x-1) \leq 0$）
• 根据比较性质：$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$
• 计算得：$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$，确实成立

积分的绝对值性质

基本定理

定理 6

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

$\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$

应用例子

例子：估计 $\int_0^1 \sin(\pi x) dx$ 的绝对值

解：

• $|\sin(\pi x)| \leq 1$ 在 $[0, 1]$ 上成立
• 根据绝对值性质：$\left|\int_0^1 \sin(\pi x) dx\right| \leq \int_0^1 |\sin(\pi x)| dx \leq \int_0^1 1 dx = 1$
• 实际上，$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = [-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)]_0^1 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$

积分的单调性

基本定理

定理 7

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$a < c < d < b$，则：

$\int_a^c f(x) dx \leq \int_a^d f(x) dx$

证明：利用区间可加性和积分保号性即可证明。

积分的周期性

基本定理

定理 8

设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，则对于任意 $a$，有：

$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$

应用例子

例子：计算 $\int_0^{2\pi} \sin x dx$

解：

• $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
• 根据周期性：$\int_0^{2\pi} \sin x dx = \int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$
• 这是因为 $\sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的正负面积相等

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练习题

1. 利用线性性质计算 $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx$。

参考答案

解题思路： 利用积分的线性性质，将积分分解为三个简单积分的和。

详细步骤：

1. $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx = 3\int_0^1 x^2 dx + 2\int_0^1 x dx + \int_0^1 1 dx$
2. $= 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

答案：$3$

2. 利用区间可加性计算 $\int_0^3 x dx$。

参考答案

解题思路： 将区间 $[0, 3]$ 分割为 $[0, 1]$ 和 $[1, 3]$ 两个子区间。

详细步骤：

1. $\int_0^3 x dx = \int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx$
2. $= \frac{1}{2} + [\frac{x^2}{2}]_1^3 = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

答案：$\frac{9}{2}$

3. 利用积分中值定理，对于函数 $f(x) = x$ 在 $[0, 2]$ 上，求满足定理的点 $\xi$。

参考答案

解题思路： 先计算积分值，然后利用积分中值定理求解。

详细步骤：

1. $\int_0^2 x dx = [\frac{x^2}{2}]_0^2 = 2$
2. 根据积分中值定理：$2 = \xi \cdot 2$
3. 所以 $\xi = 1$

答案：$\xi = 1$