积分学的线性函数例子

引言

在学习了积分学的基本思想后，让我们通过一个最简单的例子来深入理解积分是如何工作的。

问题

如何计算阴影部分的面积

几何背景

这个函数有什么特点？

• 它是一条直线，斜率为 1
• 在区间 $[a, b]$ 上，它形成了一个梯形

利用几何知识，我们可以很容易地计算这个梯形的面积。

• 梯形的上底为 $a$，下底为 $b$，高为 $b-a$
• 梯形面积公式：$S = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2}$
• 代入数值：$S = \frac{(a+b) \times (b-a)}{2} = \frac{b^2-a^2}{2}$

但是，如果我们用积分的方法来计算呢？

积分方法

根据积分学的基本思想：

1. 将区间 $[a, b]$ 分成很多很窄的矩形条
2. 每个矩形条的面积 = 高度 × 宽度
3. 总面积 = 所有矩形条面积的和

对于函数 $y = x$：

• 第 $i$ 个矩形条的高度 = $x_i$（函数在该点的值）
• 第 $i$ 个矩形条的宽度 = $\Delta x$
• 第 $i$ 个矩形条的面积 = $x_i \cdot \Delta x$

总面积

$$\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \Delta x$$

当矩形条越来越窄时，这个和就越来越接近真实面积，所以精确面积是

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \Delta x$$

详细计算过程

在开始计算之前，我们需要先学习一个重要的求和公式：

求和公式

重要公式：$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

推导方法：

• 将 $1 + 2 + 3 + ... + n$ 和 $n + (n-1) + (n-2) + ... + 1$ 相加
• 每列的和都是 $n+1$，共有 $n$ 列
• 所以 $2 \times (1 + 2 + ... + n) = n(n+1)$
• 因此 $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

开始计算

现在让我们来计算这个极限：

结果验证

通过积分方法计算得到的结果，和几何方法计算的面积是完全一致的。

不过，对于复杂的函数，计算积分就没有这么简单了。

我们会在接下来的课程中深入学习。

练习题

练习 1

计算函数 $y = x$ 在区间 $[0, 2]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路： 使用我们刚才学到的公式 $\int_a^b x \, dx = \frac{b^2-a^2}{2}$。

详细步骤：

1. 确定积分区间：$a = 0$，$b = 2$
2. 代入公式：$\int_0^2 x \, dx = \frac{2^2-0^2}{2} = \frac{4-0}{2} = 2$

答案： $\int_0^2 x \, dx = 2$

练习 2

计算函数 $y = x$ 在区间 $[1, 3]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路： 使用公式 $\int_a^b x \, dx = \frac{b^2-a^2}{2}$。

详细步骤：

1. 确定积分区间：$a = 1$，$b = 3$
2. 代入公式：$\int_1^3 x \, dx = \frac{3^2-1^2}{2} = \frac{9-1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

答案： $\int_1^3 x \, dx = 4$

练习 3

验证函数 $y = x$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分结果，并解释这个结果在几何上的意义。

参考答案

解题思路： 先计算积分值，然后从几何角度解释结果。

详细步骤：

1. 计算积分：$\int_0^1 x \, dx = \frac{1^2-0^2}{2} = \frac{1}{2}$
2. 几何解释：函数 $y = x$ 在区间 $[0, 1]$ 上形成一个直角三角形，底边长为 1，高为 1，所以面积为 $\frac{1 \times 1}{2} = \frac{1}{2}$

答案： $\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}$

几何意义：这个积分值表示函数 $y = x$ 在区间 $[0, 1]$ 上与 x 轴围成的面积，正好是 $\frac{1}{2}$。