积分学的线性函数例子

引言

在学习了积分学的基本思想后，让我们通过一个最简单的例子来深入理解积分是如何工作的。

问题

如何计算阴影部分的面积

几何背景

这个函数有什么特点？

• 它是一条直线，斜率为 1
• 在区间 $[a, b]$ 上，它形成了一个梯形

利用几何知识，我们可以很容易地计算这个梯形的面积。

梯形面积公式

$S = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2}$

计算步骤：

• 梯形的上底为 $a$，下底为 $b$，高为 $b-a$
• 梯形面积公式：$S = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2}$
• 代入数值：$S = \frac{(a+b) \times (b-a)}{2} = \frac{b^2-a^2}{2}$

但是，如果我们用积分的方法来计算呢？

积分方法

根据积分学的基本思想：

1. 将区间 $[a, b]$ 分成很多很窄的矩形条
2. 每个矩形条的面积 = 高度 × 宽度
3. 总面积 = 所有矩形条面积的和

对于函数 $y = x$：

• 第 $i$ 个矩形条的高度 = $x_i$（函数在该点的值）
• 第 $i$ 个矩形条的宽度 = $\Delta x$
• 第 $i$ 个矩形条的面积 = $x_i \cdot \Delta x$

总面积

$$\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \Delta x$$

当矩形条越来越窄时，这个和就越来越接近真实面积，所以精确面积是

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \Delta x$$

详细计算过程

在开始计算之前，我们需要先学习一个重要的求和公式：

求和公式

自然数求和公式

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2}$

推导方法：

• 将 $1 + 2 + 3 + ... + n$ 和 $n + (n-1) + (n-2) + ... + 1$ 相加
• 每列的和都是 $n+1$，共有 $n$ 列
• 所以 $2 \times (1 + 2 + ... + n) = n(n+1)$
• 因此 $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

小故事

这个求和公式 $\sum_{(i = 1)}^{n} i = \frac{n(n + 1)} {2}$ 有一个著名的故事。传说德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）在小学时，老师为了让他安静一会儿，让他计算 $1 + 2 + 3 + ... + 100$ 的和。高斯很快就发现了这个巧妙的方法：将数列正序和倒序相加，每列的和都是 101，共有 100 列，所以总和是 $100 \times 101 \div 2 = 5050$。这个发现让老师大吃一惊，也展示了高斯非凡的数学天赋。

开始计算

现在让我们来计算这个极限：

对于函数 $y = x$：

• $x_i = a + i \cdot \Delta x$
• $\Delta x = \frac{b-a}{n}$

所以： $\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + i \cdot \frac{b-a}{n}) \cdot \frac{b-a}{n}$

$= \sum_{i=1}^{n} (a \cdot \frac{b-a}{n} + i \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2})$

$= n \cdot a \cdot \frac{b-a}{n} + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \sum_{i=1}^{n} i$

$= a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

当 $n \to \infty$ 时： $\lim_{n \to \infty} [a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n}] = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{b^2-a^2}{2}$

函数 y = x 的定积分公式

$\int_a^b x \, dx = \frac{b^2 - a^2}{2}$

$\int$（积分符号）：这是积分符号，读作”积分”。$\int_a^b$ 表示从 $a$ 到 $b$ 的定积分，用于计算函数在区间 $[a, b]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。

结果验证

通过积分方法计算得到的结果，和几何方法计算的面积是完全一致的。

不过，对于复杂的函数，计算积分就没有这么简单了。

我们会在接下来的课程中深入学习。

练习题

练习 1

计算函数 $y = x$ 在区间 $[0, 2]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路：使用我们刚才学到的公式 $\int_a^b x \, dx = \frac{b^2-a^2}{2}$。

详细步骤：

1. 确定积分区间：$a = 0$，$b = 2$
2. 代入公式：$\int_0^2 x \, dx = \frac{2^2-0^2}{2} = \frac{4-0}{2} = 2$

答案： $\int_0^2 x \, dx = 2$

练习 2

计算函数 $y = x$ 在区间 $[1, 3]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路：使用公式 $\int_a^b x \, dx = \frac{b^2-a^2}{2}$。

详细步骤：

1. 确定积分区间：$a = 1$，$b = 3$
2. 代入公式：$\int_1^3 x \, dx = \frac{3^2-1^2}{2} = \frac{9-1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

答案： $\int_1^3 x \, dx = 4$

练习 3

验证函数 $y = x$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分结果，并解释这个结果在几何上的意义。

参考答案

解题思路：先计算积分值，然后从几何角度解释结果。

详细步骤：

1. 计算积分：$\int_0^1 x \, dx = \frac{1^2-0^2}{2} = \frac{1}{2}$
2. 几何解释：函数 $y = x$ 在区间 $[0, 1]$ 上形成一个直角三角形，底边长为 1，高为 1，所以面积为 $\frac{1 \times 1}{2} = \frac{1}{2}$

答案： $\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}$

几何意义：这个积分值表示函数 $y = x$ 在区间 $[0, 1]$ 上与 x 轴围成的面积，正好是 $\frac{1}{2}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\Delta x$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示 $x$ 的微小变化量，即每个矩形条的宽度
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，$\sum_{i=1}^{n}$ 表示从 $i=1$ 到 $n$ 求和
$\lim$	数学符号	limit（极限）	表示极限，$\lim_{n \to \infty}$ 表示当 $n$ 趋向于无穷大时的极限值
$\int$	数学符号	积分符号	表示定积分，$\int_a^b$ 表示从 $a$ 到 $b$ 的定积分

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分	integral	/ˈɪntɪɡrəl/	用无限多个无限小的矩形来逼近复杂图形面积的方法
定积分	definite integral	/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	计算函数在区间 $[a, b]$ 上与 $x$ 轴围成的面积
矩形条	rectangle strip	/ˈrektæŋɡəl strɪp/	将区间分割后形成的用于近似计算面积的小矩形
求和	summation	/səˈmeɪʃən/	将多个数值相加的运算
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	当变量趋向于某个值时，函数值的趋向值
梯形	trapezoid	/ˈtræpəzɔɪd/	一组对边平行的四边形
面积	area	/ˈeəriə/	平面图形所围成的区域的大小

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