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一元函数积分学

基本积分公式

幂函数积分

基本公式

基本公式：∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C（n≠−1n \neq -1）

特殊情况

  • ∫xdx=x22+C\int x dx = \frac{x^2}{2} + C
  • ∫x2dx=x33+C\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C
  • ∫x3dx=x44+C\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C

重要注意

当 n=−1n = -1 时：∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

这是因为 x00\frac{x^0}{0} 没有意义，而 ln⁡∣x∣\ln|x| 的导数确实是 1x\frac{1}{x}。

指数函数积分

基本公式

  • ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
  • ∫axdx=axln⁡a+C\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）

常见例子

  • ∫e2xdx=12e2x+C\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
  • ∫2xdx=2xln⁡2+C\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C
  • ∫3xdx=3xln⁡3+C\int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C

记忆技巧

指数函数的积分公式可以通过求导验证：

  • ddx(ex)=ex\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
  • ddx(axln⁡a)=ax\frac{d}{dx}(\frac{a^x}{\ln a}) = a^x

对数函数积分

基本公式

基本公式：∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

重要注意

这里必须使用绝对值，因为 ln⁡x\ln x 只在 x>0x > 0 时有定义。

验证

通过求导验证：ddx(ln⁡∣x∣)=1x\frac{d}{dx}(\ln|x|) = \frac{1}{x}

三角函数积分

基本三角函数积分

  • ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C
  • ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C
  • ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C
  • ∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C

其他三角函数积分

  • ∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
  • ∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C\int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C

记忆技巧

可以通过求导验证这些公式：

  • ddx(−cos⁡x)=sin⁡x\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x
  • ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x
  • ddx(−ln⁡∣cos⁡x∣)=tan⁡x\frac{d}{dx}(-\ln|\cos x|) = \tan x

反三角函数积分

基本公式

  • ∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C
  • ∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C
  • ∫1∣x∣x2−1dx=arccos⁡x+C\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx = \arccos x + C（∣x∣>1|x| > 1）

注意

反三角函数的积分公式相对复杂，需要特别注意定义域。

双曲函数积分

基本公式

  • ∫sinh⁡xdx=cosh⁡x+C\int \sinh x dx = \cosh x + C
  • ∫cosh⁡xdx=sinh⁡x+C\int \cosh x dx = \sinh x + C
  • ∫tanh⁡xdx=ln⁡∣cosh⁡x∣+C\int \tanh x dx = \ln|\cosh x| + C

双曲函数定义

  • sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
  • cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
  • tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

积分表的记忆技巧

1. 按函数类型分类

幂函数：∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C（n≠−1n \neq -1）

指数函数：∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

对数函数：∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

三角函数：∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C，∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C

2. 导数与积分的关系

  • 积分是导数的逆运算
  • 可以通过求导验证积分结果

3. 几何意义

  • 积分表示面积或体积
  • 不定积分表示一族曲线

练习题

练习 1

计算 ∫x4dx\int x^4 dx。

参考答案

解题思路： 使用幂函数积分公式。

详细步骤：

  1. 使用公式：∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  2. 这里 n=4n = 4，所以： ∫x4dx=x4+14+1+C=x55+C\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C

答案：x55+C\frac{x^5}{5} + C

练习 2

计算 ∫1x3dx\int \frac{1}{x^3} dx。

参考答案

解题思路： 将 1x3\frac{1}{x^3} 写成 x−3x^{-3} 的形式，然后使用幂函数积分公式。

详细步骤：

  1. ∫1x3dx=∫x−3dx\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx
  2. 使用公式：∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  3. 这里 n=−3n = -3，所以： ∫x−3dx=x−2−2+C=−12x2+C\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C

答案：−12x2+C-\frac{1}{2x^2} + C

练习 3

计算 ∫e5xdx\int e^{5x} dx。

参考答案

解题思路： 使用凑微分法，设 u=5xu = 5x。

详细步骤：

  1. 设 u=5xu = 5x，则 du=5dxdu = 5dx，所以 dx=du5dx = \frac{du}{5}
  2. ∫e5xdx=∫eu⋅du5=15∫eudu\int e^{5x} dx = \int e^u \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int e^u du
  3. 15∫eudu=15eu+C=15e5x+C\frac{1}{5}\int e^u du = \frac{1}{5}e^u + C = \frac{1}{5}e^{5x} + C

答案：15e5x+C\frac{1}{5}e^{5x} + C

练习 4

计算 ∫cos⁡xdx\int \cos x dx。

参考答案

解题思路： 使用三角函数积分公式。

详细步骤：

  1. 使用公式：∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C

答案：sin⁡x+C\sin x + C

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