基本积分公式

幂函数积分

基本公式

基本公式：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

特殊情况

• $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$
• $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$
• $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$

重要注意

当 $n = -1$ 时：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

这是因为 $\frac{x^0}{0}$ 没有意义，而 $\ln|x|$ 的导数确实是 $\frac{1}{x}$。

指数函数积分

基本公式

• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$，$a \neq 1$）

常见例子

• $\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$
• $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$
• $\int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$

记忆技巧

指数函数的积分公式可以通过求导验证：

• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(\frac{a^x}{\ln a}) = a^x$

对数函数积分

基本公式

基本公式：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

重要注意

这里必须使用绝对值，因为 $\ln x$ 只在 $x > 0$ 时有定义。

验证

通过求导验证：$\frac{d}{dx}(\ln|x|) = \frac{1}{x}$

三角函数积分

基本三角函数积分

• $\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$
• $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$
• $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$

其他三角函数积分

• $\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
• $\int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$

记忆技巧

可以通过求导验证这些公式：

• $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$
• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(-\ln|\cos x|) = \tan x$

反三角函数积分

基本公式

• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$
• $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$
• $\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx = \arccos x + C$（$|x| > 1$）

注意

反三角函数的积分公式相对复杂，需要特别注意定义域。

双曲函数积分

基本公式

• $\int \sinh x dx = \cosh x + C$
• $\int \cosh x dx = \sinh x + C$
• $\int \tanh x dx = \ln|\cosh x| + C$

双曲函数定义

• $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$

积分表的记忆技巧

1. 按函数类型分类

幂函数：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

指数函数：$\int e^x dx = e^x + C$

对数函数：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

三角函数：$\int \sin x dx = -\cos x + C$，$\int \cos x dx = \sin x + C$

2. 导数与积分的关系

• 积分是导数的逆运算
• 可以通过求导验证积分结果

3. 几何意义

• 积分表示面积或体积
• 不定积分表示一族曲线

练习题

练习 1

计算 $\int x^4 dx$。

参考答案

解题思路： 使用幂函数积分公式。

详细步骤：

1. 使用公式：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
2. 这里 $n = 4$，所以： $\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

答案：$\frac{x^5}{5} + C$

练习 2

计算 $\int \frac{1}{x^3} dx$。

参考答案

解题思路： 将 $\frac{1}{x^3}$ 写成 $x^{-3}$ 的形式，然后使用幂函数积分公式。

详细步骤：

1. $\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx$
2. 使用公式：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
3. 这里 $n = -3$，所以： $\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

答案：$-\frac{1}{2x^2} + C$

练习 3

计算 $\int e^{5x} dx$。

参考答案

解题思路： 使用凑微分法，设 $u = 5x$。

详细步骤：

1. 设 $u = 5x$，则 $du = 5dx$，所以 $dx = \frac{du}{5}$
2. $\int e^{5x} dx = \int e^u \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int e^u du$
3. $\frac{1}{5}\int e^u du = \frac{1}{5}e^u + C = \frac{1}{5}e^{5x} + C$

答案：$\frac{1}{5}e^{5x} + C$

练习 4

计算 $\int \cos x dx$。

参考答案

解题思路： 使用三角函数积分公式。

详细步骤：

1. 使用公式：$\int \cos x dx = \sin x + C$

答案：$\sin x + C$

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