利用换元法

换元法是定积分计算中最常用的技巧之一，它通过“更换自变量”把复杂的被积函数（integrand）化成熟悉的形式。

定积分的换元法

定积分的换元法

设 $x = \varphi(t)$ 在区间 $[\alpha,\beta]$ 上可导且单调，满足 $\varphi(\alpha)=a,\ \varphi(\beta)=b$，并且 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则有

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,dt.$$

换元法的要点

1. 同步变换积分限：换元后必须把 $a,b$ 映射成新的上下限 $\alpha,\beta$，不要忘记回代。
2. 单调与连续：选择在区间内单调、可微的 $\varphi$，并确保 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ 在新区间上连续。
3. 识别结构：对 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2\pm a^2}$ 等典型形式，优先尝试三角或双曲换元；对于 $(ax+b)^k$ 这类线性复合函数，则用线性换元即可。
4. 与分部积分结合：当 integrand 同时含幂函数与对数/指数时，可以先通过换元将某个因子化成“可微的变量”，再进行分部积分。

常见换元策略

• 线性换元：$x=at+b$，用于平移、缩放区间。
• 幂函数换元：$x=t^{\,k}$ 或 $t=x^{1/k}$，处理 $x^m\sqrt[n]{x}$。
• 三角换元：$x=a\sin t$、$x=a\tan t$ 等，化简根式 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$。
• 指数/对数换元：$x=e^t$、$t=\ln x$，适合含 $\ln x$ 或 $x^\alpha$ 的积分。

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^1 x e^{x^2} dx$

解：

1. 设 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$。
2. 当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 1$ 时，$u = 1$。
3. $\displaystyle \int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \frac{1}{2}(e - 1)$。

例子 2：计算 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

解：

1. 设 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t\,dt$。
2. 当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 1$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$。
3. $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t} dt = \frac{\pi}{2}$。

例子 3：计算 $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx$

解：

1. 令 $u=\ln x$，$dv = x^{-1/2}dx = 2\,d(\sqrt{x})$，则 $du=\frac{dx}{x}$，$v=2\sqrt{x}$。
2. 由分部积分得 $\displaystyle \int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}\ln x - 2\int \sqrt{x}\frac{dx}{x}$。
3. $\displaystyle \int_1^{e^2} \sqrt{x}\frac{dx}{x} = \int_1^{e^2} x^{-1/2}dx = 2(e-1)$。
4. 代入上下限可得结果为 $4$。

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练习题

练习 1

利用换元法计算 $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$。

参考答案

解题思路：使用 $u = 1-x^2$。

详细步骤：

1. 设 $u = 1-x^2$，则 $du = -2x\,dx$，$x\,dx = -\frac{1}{2} du$。
2. $x=0 \Rightarrow u=1$，$x=1 \Rightarrow u=0$。
3. $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2}\int_1^0 \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2}\int_0^1 u^{-1/2} du = 1$。

答案：$1$。

练习 2

利用换元配合分部积分，求 $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx$。

参考答案

解题思路：同“例子 3”，但要写清换元与分部积分的每一步。

详细步骤：

1. $u=\ln x,\ dv=x^{-1/2}dx$，则 $du=\frac{dx}{x}$，$v=2\sqrt{x}$。
2. $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx = \Bigl.2\sqrt{x}\ln x\Bigr|_1^{e^2} - 2\int_1^{e^2} \sqrt{x}\frac{dx}{x}$。
3. $\displaystyle \int_1^{e^2} \sqrt{x}\frac{dx}{x} = 2(e-1)$。
4. 综合得结果 $4$。

答案：$4$。

练习 3

改编自2022考研数学一填空题

设 $t = \tan \theta$，计算 $\displaystyle \int_0^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2 \theta}\,d\theta$，并说明换元过程。

参考答案

解题思路：利用恒等式 $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$，再令 $t=\tan\theta$。

详细步骤：

1. 令 $t=\tan \theta$，则 $d\theta = \frac{dt}{1+t^2}$，当 $\theta=0$ 时 $t=0$，$\theta=\pi/4$ 时 $t=1$。
2. $\displaystyle \int_0^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2 \theta}d\theta = \int_0^{1} \frac{1}{1+t^2}\cdot\frac{dt}{1+t^2} = \int_0^1 \frac{dt}{(1+t^2)^2}$。
3. $\displaystyle \int \frac{dt}{(1+t^2)^2} = \frac{t}{2(1+t^2)} + \frac{1}{2}\arctan t$，代入 $0$ 与 $1$ 得 $\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$。

答案：$\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varphi$	希腊字母	phi（fi）	换元函数 $x=\varphi(t)$
$t,u$	变量	tee / yoo	换元后的新自变量
$\int f(x)\,dx$	数学符号	integral sign	定积分运算符号
$\mathbb{R}$	数学符号	real numbers	默认的实数取值范围

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
换元法	substitution method	/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn ˈmɛθəd/	通过变量替换化简积分
被积函数	integrand	/ˈɪntɪɡrænd/	积分号内部的函数
积分限	limits of integration	/ˈlɪmɪts əv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	定积分的上限与下限
三角换元	trigonometric substitution	/ˌtrɪɡəˈnɒmɪtrɪk ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	用三角函数进行换元
分部积分	integration by parts	/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːrts/	将积分拆分的常用技巧

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