变限积分与推广

当积分的上下限本身也是关于 $x$ 的函数时，需要使用“变限积分求导公式”。它是积分上限函数的自然推广。

变限积分

定理 2

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$u(x)$ 和 $v(x)$ 在 $[c, d]$ 上可导，则：

$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = f\bigl(v(x)\bigr) \cdot v'(x) - f\bigl(u(x)\bigr) \cdot u'(x)$

证明思路：把积分拆成两个积分上限函数，再结合链式法则即可。

应用例子

例子 1：设 $F(x) = \int_0^{x^2} \sin t \, dt$，求 $F'(x)$

解：上限是 $v(x)=x^2$。因此

$F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x \sin(x^2)$

例子 2：考研真题应用

已知函数 $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$，$g(x) = \int_0^x e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x$，判断 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点还是拐点。

解：

1. 利用积分上限函数的导数性质
   • $f'(x) = e^{x^2} \sin x$
   • $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$
2. 判断极值点
   • $f'(0) = 0$
   • $f''(0) = 1 > 0$
3. 结论：$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。该题展示了积分上限函数在考研真题中的典型考法：先对积分求导，再结合高阶导数判断极值。 熟悉这一流程后，遇到类似问题即可迅速定位求导路线与判别结论。

上一章节 常见应用 下一章节 牛顿-莱布尼茨公式