牛顿-莱布尼茨公式

积分上限函数的最大价值在于：它提供了“原函数”的自然候选者，从而把定积分与微分运算连接起来，这正是牛顿-莱布尼茨公式的出发点。

积分上限函数与牛顿-莱布尼茨公式

积分上限函数为牛顿-莱布尼茨公式的证明提供了重要工具：

1. 构造原函数：$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数；
2. 证明基础：任意原函数与积分上限函数只相差一个常数；
3. 公式推导：因此 $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$。

总结与理解要点

1. 几何意义

• 积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ 表示从 $a$ 到 $x$ 的积分面积；
• 当 $x$ 增加时，积分面积随之累积；
• $F(x)$ 的值等于曲线 $f(x)$ 下方从 $a$ 到 $x$ 的面积。

2. 微分关系

• 核心性质：$F'(x) = f(x)$；
• 积分上限函数的导数等于被积函数；
• 这建立了积分与微分之间的桥梁。

3. 原函数关系

• 积分上限函数是被积函数的一个原函数；
• 任意原函数与积分上限函数只差一个常数；
• 这是牛顿-莱布尼茨公式的关键前提。

4. 应用价值

• 提供了计算定积分的新思路；
• 帮助连接微分方程、物理中的累积量等问题；
• 为微积分基本定理奠定了理论基础。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\xi$	希腊字母	Xi（克西）	积分中值定理中位于区间 $[x,x+h]$ 的取值点
$\int$	数学符号	Integral（积分符号）	表示累积面积或累积量的定积分运算
$F(x)$	函数符号	Function（函数）	积分上限函数，表示从下限到 $x$ 的累积面积

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分上限函数	upper limit function	/ˈʌpər ˈlɪmɪt ˈfʌŋkʃən/	以 $x$ 作为积分上限、描述累积面积的函数
变限积分	variable-limit integral	/ˈvɛəriəbəl ˈlɪmɪt ˈɪntɪɡrəl/	上下限随 $x$ 变化的积分形式
积分中值定理	mean value theorem for integrals	/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	给出存在 $\xi$ 使积分等于函数值乘区间长度
累积量	accumulated quantity	/əˈkjuːmjəˌleɪtɪd ˈkwɒntɪti/	由瞬时变化率积分得到的总量

完成以上内容后，你已经具备使用积分上限函数、连接微分与积分的重要工具。下一步建议配合练习题进一步巩固。

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