牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中最重要的公式之一，它将定积分的计算与原函数联系起来，为积分的计算提供了强有力的工具。

基本公式

牛顿-莱布尼茨公式

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则：

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

记法：$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

公式的意义

这个公式的重要意义在于：

1. 连接微分与积分：它将定积分与原函数联系起来
2. 简化计算：避免了直接计算黎曼和的复杂过程
3. 理论基础：为积分学提供了坚实的理论基础

公式的证明

证明思路

证明步骤：

1. 设 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$
2. 所以 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数
3. 设 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，则 $G(x) = F(x) + C$
4. $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$

证明的详细过程

步骤 1：构造积分上限函数

设 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，则根据积分上限函数的性质，$F'(x) = f(x)$。

步骤 2：原函数的关系

设 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，则 $G'(x) = f(x)$。

由于 $F'(x) = G'(x) = f(x)$，所以 $F(x)$ 和 $G(x)$ 只相差一个常数：

$G(x) = F(x) + C$

步骤 3：计算定积分

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = (G(b) - C) - (G(a) - C) = G(b) - G(a)$

应用例子

基本应用

例子 1：计算 $\int_0^1 x^2 dx$

解：

• $F(x) = \frac{x^3}{3}$ 是 $x^2$ 的一个原函数
• $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

例子 2：计算 $\int_0^{\pi} \sin x dx$

解：

• $F(x) = -\cos x$ 是 $\sin x$ 的一个原函数
• $\int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$

复杂应用

例子 3：计算 $\int_1^e \frac{1}{x} dx$

解：

• $F(x) = \ln x$ 是 $\frac{1}{x}$ 的一个原函数
• $\int_1^e \frac{1}{x} dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

例子 4：计算 $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx$

解：

• 利用三角恒等式：$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
• $F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}$ 是 $\cos^2 x$ 的一个原函数
• $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = [\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} + 0 - 0 = \frac{\pi}{4}$

公式的推广

变限积分

变限积分：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则：

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$

证明：直接利用积分上限函数的导数性质。

复合函数的积分

定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$u(x)$ 和 $v(x)$ 在 $[c, d]$ 上可导，且 $u([c, d]) \subseteq [a, b]$，则：

$\int_c^d f(u(x)) u'(x) dx = \int_{u(c)}^{u(d)} f(t) dt$

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练习题

1. 计算定积分 $\int_0^1 x^3 dx$。

参考答案

解题思路： 使用牛顿-莱布尼茨公式。

详细步骤：

1. $F(x) = \frac{x^4}{4}$ 是 $x^3$ 的一个原函数
2. $\int_0^1 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$

答案：$\frac{1}{4}$

2. 计算定积分 $\int_0^{\pi/2} \cos x dx$。

参考答案

解题思路： 使用牛顿-莱布尼茨公式。

详细步骤：

1. $F(x) = \sin x$ 是 $\cos x$ 的一个原函数
2. $\int_0^{\pi/2} \cos x dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

答案：$1$

3. 计算定积分 $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。

参考答案

解题思路： 使用牛顿-莱布尼茨公式。

详细步骤：

1. $F(x) = 2\sqrt{x}$ 是 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的一个原函数
2. $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x}]_1^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$

答案：$2$

4. 计算定积分 $\int_0^1 e^x dx$。

参考答案

解题思路： 使用牛顿-莱布尼茨公式。

详细步骤：

1. $F(x) = e^x$ 是 $e^x$ 的一个原函数
2. $\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

答案：$e - 1$