积分的性质

积分的线性性质

基本定理

定理 1

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$a$ 和 $b$ 为常数，则

$\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$

证明

设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数，则

$(aF(x) + bG(x))' = aF'(x) + bG'(x) = af(x) + bg(x)$

所以 $aF(x) + bG(x)$ 是 $af(x) + bg(x)$ 的原函数。

几何意义

线性性质表示积分运算对加法和数乘是线性的，这与导数的线性性质相对应。

应用例子

例子：计算 $\int (3x^2 + 2x) dx$

解：

• $\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$
• $\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$
• 所以 $\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C$

积分与微分的关系

基本关系

定理 2

• $\frac{d}{dx}[\int f(x) dx] = f(x)$
• $\int f'(x) dx = f(x) + C$

几何解释

• 积分是微分的逆运算
• 积分常数 $C$ 反映了原函数的不唯一性

验证方法

可以通过求导来验证积分结果是否正确：

例子：验证 $\int 2x dx = x^2 + C$ 是否正确

验证：$\frac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x$，所以积分结果正确。

积分的其他性质

1. 积分区间可加性

定理 3

如果 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 上连续，$b \in (a, c)$，则

$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$

2. 积分保号性

定理 4

如果 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x) dx \geq 0$

3. 积分中值定理

定理 5

如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a)$

积分的运算性质

1. 积分的可加性

$\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$

2. 积分的齐次性

$\int [kf(x)] dx = k\int f(x) dx$

其中 $k$ 为常数。

3. 积分的结合性

$\int [af(x) + bg(x) + ch(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx + c\int h(x) dx$

积分的物理意义

1. 累积量

积分表示累积量，如：

• 位移是速度的积分
• 功是力的积分
• 电荷是电流的积分

2. 面积

定积分表示曲线下的面积。

3. 体积

二重积分表示曲面下的体积。

积分的应用性质

1. 平均值

函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值为：

$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx$

2. 概率密度

在概率论中，概率密度函数的积分等于概率。

3. 能量

在物理学中，能量是功率的积分。

练习题

练习 1

利用线性性质计算 $\int (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx$。

参考答案

解题思路： 使用积分的线性性质，将积分分解为各个部分的积分。

详细步骤：

1. $\int 2x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$
2. $\int -3x^2 dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$
3. $\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$
4. 所以 $\int (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + C$

答案：$\frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + C$

练习 2

验证 $\int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x + C$ 是否正确。

参考答案

解题思路： 通过求导验证积分结果是否正确。

详细步骤：

1. 计算 $\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + C)$： $\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + C) = e^x + \sin x$

2. 比较结果：

   • 被积函数：$e^x + \sin x$
   • 导数结果：$e^x + \sin x$

3. 由于导数结果等于被积函数，所以积分结果正确。

答案：积分结果正确。

练习 3

计算 $\int (x^2 + 2x + 1) dx$。

参考答案

解题思路： 使用线性性质和基本积分公式。

详细步骤：

1. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$
2. $\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$
3. $\int 1 dx = x$
4. 所以 $\int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$

答案：$\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$