定积分的计算技巧

定积分的计算技巧是解决复杂积分问题的重要工具，掌握这些技巧可以大大简化计算过程。

利用对称性

偶函数的积分

偶函数：如果 $f(x)$ 是偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$

证明： 利用积分的区间可加性和偶函数的性质。

奇函数的积分

奇函数：如果 $f(x)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$

证明： 利用积分的区间可加性和奇函数的性质。

应用例子

例子 1：计算 $\int_{-1}^1 x^2 dx$

解：

• $f(x) = x^2$ 是偶函数
• $\int_{-1}^1 x^2 dx = 2\int_0^1 x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

例子 2：计算 $\int_{-2}^2 x^3 dx$

解：

• $f(x) = x^3$ 是奇函数
• $\int_{-2}^2 x^3 dx = 0$

利用周期性

周期函数的积分

周期函数：如果 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，则

$\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$

证明： 利用积分的区间可加性和周期函数的性质。

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^{2\pi} \sin x dx$

解：

• $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
• $\int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$（因为 $\sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的正负面积相等）

例子 2：计算 $\int_0^{4\pi} \cos^2 x dx$

解：

• $\cos^2 x$ 是周期为 $\pi$ 的函数
• $\int_0^{4\pi} \cos^2 x dx = 4\int_0^{\pi} \cos^2 x dx = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$

利用换元法

定积分的换元法

定积分的换元法：设 $x = \varphi(t)$，则

$\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt$

其中 $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$

换元法的注意事项

1. 积分限的变换：必须根据换元公式变换积分限
2. 函数的连续性：确保换元后的函数在新区间上连续
3. 单调性：通常要求换元函数在积分区间上单调

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^1 x e^{x^2} dx$

解：

• 设 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$
• 当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 1$ 时，$u = 1$
• $\int_0^1 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \frac{1}{2}(e - 1)$

例子 2：计算 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

解：

• 设 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$
• 当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 1$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$
• $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t} dt = \int_0^{\pi/2} 1 dt = \frac{\pi}{2}$

利用分部积分法

定积分的分部积分法

定积分的分部积分法：

$\int_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) dx$

应用例子

例子：计算 $\int_0^1 x e^x dx$

解：

• 设 $u(x) = x$，$v'(x) = e^x$，则 $u'(x) = 1$，$v(x) = e^x$
• $\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

利用积分中值定理

积分中值定理的应用

积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得：

$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$

应用例子

例子：估计 $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ 的值

解：

• 由于 $e^{-x^2}$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减
• 根据积分中值定理，存在 $\xi \in [0,1]$，使得 $\int_0^1 e^{-x^2} dx = e^{-\xi^2}$
• 由于 $e^{-1} \leq e^{-\xi^2} \leq e^0$，所以 $0.368 \leq \int_0^1 e^{-x^2} dx \leq 1$

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练习题

1. 利用对称性计算 $\int_{-2}^2 x^4 dx$。

参考答案

解题思路： 利用偶函数的积分性质。

详细步骤：

1. $f(x) = x^4$ 是偶函数
2. $\int_{-2}^2 x^4 dx = 2\int_0^2 x^4 dx = 2[\frac{x^5}{5}]_0^2 = 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5}$

答案：$\frac{64}{5}$

2. 利用周期性计算 $\int_0^{6\pi} \sin x dx$。

参考答案

解题思路： 利用周期函数的积分性质。

详细步骤：

1. $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
2. $\int_0^{6\pi} \sin x dx = 3\int_0^{2\pi} \sin x dx = 3 \cdot 0 = 0$

答案：$0$

3. 利用换元法计算 $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$。

参考答案

解题思路： 使用换元法，设 $u = 1-x^2$。

详细步骤：

1. 设 $u = 1-x^2$，则 $du = -2x dx$，$x dx = -\frac{1}{2} du$
2. 当 $x = 0$ 时，$u = 1$；当 $x = 1$ 时，$u = 0$
3. $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2}\int_1^0 \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2}\int_0^1 u^{-1/2} du = \frac{1}{2}[2\sqrt{u}]_0^1 = 1$

答案：$1$