积分学的二次函数例子

引言

在学习了线性函数的积分后，让我们来看一个稍微复杂一点的例子：$y = x^2$

这个函数有什么特点？

• 它是一条抛物线，开口向上
• 在区间 $[a, b]$ 上，它形成了一个曲边梯形
• 与线性函数不同，这个图形的面积不能直接用简单的几何公式计算

问题

如何计算阴影部分的面积？

几何背景

对于函数 $y = x^2$，我们不能像线性函数那样用简单的梯形公式来计算面积，因为：

• 函数图像是曲线，不是直线
• 阴影部分是一个曲边梯形
• 需要更精确的方法来计算面积

积分方法

根据积分学的基本思想：

1. 将区间 $[a, b]$ 分成很多很窄的矩形条
2. 每个矩形条的面积 = 高度 × 宽度
3. 总面积 = 所有矩形条面积的和

对于函数 $y = x^2$：

• 第 $i$ 个矩形条的高度 = $x_i^2$（函数在该点的值）
• 第 $i$ 个矩形条的宽度 = $\Delta x$
• 第 $i$ 个矩形条的面积 = $x_i^2 \cdot \Delta x$

总面积

$$\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \Delta x$$

当矩形条越来越窄时，这个和就越来越接近真实面积，所以精确面积是

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \Delta x$$

详细计算过程

在开始计算之前，我们需要先学习一个重要的求和公式：

平方和公式

平方和公式

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

这个平方和公式的推导比较复杂，涉及数学归纳法和复杂的代数运算。我们会在学习无穷级数时详细推导这个公式。现在我们先接受这个公式，专注于理解积分计算的过程。

开始计算

现在让我们来计算这个极限：

对于函数 $y = x^2$：

• $x_i = a + i \cdot \Delta x$
• $\Delta x = \frac{b-a}{n}$

所以：$\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + i \cdot \frac{b-a}{n})^2 \cdot \frac{b-a}{n}$

$= \sum_{i=1}^{n} (a^2 + 2a \cdot i \cdot \frac{b-a}{n} + i^2 \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2}) \cdot \frac{b-a}{n}$

$= \sum_{i=1}^{n} (a^2 \cdot \frac{b-a}{n} + 2a \cdot i \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2} + i^2 \cdot \frac{(b-a)^3}{n^3})$

$= n \cdot a^2 \cdot \frac{b-a}{n} + 2a \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \sum_{i=1}^{n} i + \frac{(b-a)^3}{n^3} \cdot \sum_{i=1}^{n} i^2$

$= a^2(b-a) + 2a \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(b-a)^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

当 $n \to \infty$ 时：$\lim_{n \to \infty} [a^2(b-a) + a(b-a)^2 \cdot \frac{n+1}{n} + \frac{(b-a)^3}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}]$

$= a^2(b-a) + a(b-a)^2 + \frac{(b-a)^3}{3} = \frac{b^3-a^3}{3}$

函数 y = x² 的定积分公式

$\int_a^b x^2 \, dx = \frac{b^3 - a^3}{3}$

$\int$（积分符号）：这是积分符号，读作”积分”。$\int_a^b$ 表示从 $a$ 到 $b$ 的定积分，用于计算函数在区间 $[a, b]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。

练习题

练习 1

计算函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 2]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路： 使用我们刚才学到的公式 $\int_a^b x^2 \, dx = \frac{b^3-a^3}{3}$。

详细步骤：

1. 确定积分区间：$a = 0$，$b = 2$
2. 代入公式：$\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{2^3-0^3}{3} = \frac{8-0}{3} = \frac{8}{3}$

答案： $\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}$

练习 2

计算函数 $y = x^2$ 在区间 $[1, 3]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路： 使用公式 $\int_a^b x^2 \, dx = \frac{b^3-a^3}{3}$。

详细步骤：

1. 确定积分区间：$a = 1$，$b = 3$
2. 代入公式：$\int_1^3 x^2 \, dx = \frac{3^3-1^3}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}$

答案： $\int_1^3 x^2 \, dx = \frac{26}{3}$

练习 3

验证函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分结果，并解释这个结果在几何上的意义。

参考答案

解题思路： 先计算积分值，然后从几何角度解释结果。

详细步骤：

1. 计算积分：$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1^3-0^3}{3} = \frac{1}{3}$
2. 几何解释：函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上形成一个曲边梯形，底边长为 1，高度从 0 变化到 1，面积为 $\frac{1}{3}$

答案： $\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$

几何意义：这个积分值表示函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上与 x 轴围成的面积，正好是 $\frac{1}{3}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\Delta x$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示 $x$ 的微小变化量，即每个矩形条的宽度
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，$\sum_{i=1}^{n}$ 表示从 $i=1$ 到 $n$ 求和
$\lim$	数学符号	limit（极限）	表示极限，$\lim_{n \to \infty}$ 表示当 $n$ 趋向于无穷大时的极限值
$\int$	数学符号	积分符号	表示定积分，$\int_a^b$ 表示从 $a$ 到 $b$ 的定积分

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分	integral	/ˈɪntɪɡrəl/	用无限多个无限小的矩形来逼近复杂图形面积的方法
定积分	definite integral	/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	计算函数在区间 $[a, b]$ 上与 $x$ 轴围成的面积
矩形条	rectangle strip	/ˈrektæŋɡəl strɪp/	将区间分割后形成的用于近似计算面积的小矩形
求和	summation	/səˈmeɪʃən/	将多个数值相加的运算
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	当变量趋向于某个值时，函数值的趋向值
曲边梯形	curved trapezoid	/kɜːvd trəˈpiːzɔɪd/	由曲线围成的梯形，其中至少有一条边是曲线
面积	area	/ˈeəriə/	平面图形所围成的区域的大小
平方和	sum of squares	/sʌm əv skweəz/	将一系列数的平方相加的结果

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