积分学的二次函数例子

引言

在学习了线性函数的积分后，让我们来看一个稍微复杂一点的例子： $y = x^2$

这个函数有什么特点？

它是一条抛物线，开口向上
在区间 $[a, b]$ 上，它形成了一个曲边梯形
与线性函数不同，这个图形的面积不能直接用简单的几何公式计算

问题

如何计算阴影部分的面积？

几何背景

对于函数 $y = x^2$ ，我们不能像线性函数那样用简单的梯形公式来计算面积，因为：

函数图像是曲线，不是直线
阴影部分是一个曲边梯形
需要更精确的方法来计算面积

积分方法

根据积分学的基本思想：

将区间 $[a, b]$ 分成很多很窄的矩形条
每个矩形条的面积 = 高度 × 宽度
总面积 = 所有矩形条面积的和

对于函数 $y = x^2$ ：

第 $i$ 个矩形条的高度 = $x_i^2$ （函数在该点的值）
第 $i$ 个矩形条的宽度 = $\Delta x$
第 $i$ 个矩形条的面积 = $x_i^2 \cdot \Delta x$

总面积

\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \Delta x

当矩形条越来越窄时，这个和就越来越接近真实面积，所以精确面积是

\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \Delta x

详细计算过程

在开始计算之前，我们需要先学习一个重要的求和公式：

平方和公式

重要公式： $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

这个平方和公式的推导比较复杂，涉及数学归纳法和复杂的代数运算。我们会在学习无穷级数时详细推导这个公式。现在我们先接受这个公式，专注于理解积分计算的过程。

开始计算

现在让我们来计算这个极限：

对于函数 $y = x^2$ ：

$x_i = a + i \cdot \Delta x$
$\Delta x = \frac{b-a}{n}$

所以： $\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + i \cdot \frac{b-a}{n})^2 \cdot \frac{b-a}{n}$

$= \sum_{i=1}^{n} (a^2 + 2a \cdot i \cdot \frac{b-a}{n} + i^2 \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2}) \cdot \frac{b-a}{n}$

$= \sum_{i=1}^{n} (a^2 \cdot \frac{b-a}{n} + 2a \cdot i \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2} + i^2 \cdot \frac{(b-a)^3}{n^3})$

$= n \cdot a^2 \cdot \frac{b-a}{n} + 2a \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \sum_{i=1}^{n} i + \frac{(b-a)^3}{n^3} \cdot \sum_{i=1}^{n} i^2$

$= a^2(b-a) + 2a \cdot \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(b-a)^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

当 $n \to \infty$ 时： $\lim_{n \to \infty} [a^2(b-a) + a(b-a)^2 \cdot \frac{n+1}{n} + \frac{(b-a)^3}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}]$

$= a^2(b-a) + a(b-a)^2 + \frac{(b-a)^3}{3} = \frac{b^3-a^3}{3}$

总结

通过这个二次函数的例子，我们看到了：

积分的基本思想：用无限多个无限小的矩形来逼近复杂图形的面积
计算过程：通过求和和取极限得到精确的面积值
复杂度提升：相比线性函数，二次函数的积分计算更加复杂，需要用到平方和公式

这个例子展示了积分学在处理非线性函数时的强大能力。

如果你想继续深入学习积分学，建议先掌握以下前置知识：

无穷级数：理解求和公式的推导和应用
极限理论：掌握极限的计算方法和性质
数学归纳法：用于证明复杂的求和公式

这些知识是积分学的重要基础，掌握它们会让你在后续学习中更加得心应手。

练习题

练习 1

计算函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 2]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路：使用我们刚才学到的公式 $\int_a^b x^2 \, dx = \frac{b^3-a^3}{3}$ 。

详细步骤：

确定积分区间： $a = 0$ ， $b = 2$
代入公式： $\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{2^3-0^3}{3} = \frac{8-0}{3} = \frac{8}{3}$

答案： $\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}$

练习 2

计算函数 $y = x^2$ 在区间 $[1, 3]$ 上的定积分。

参考答案

解题思路：使用公式 $\int_a^b x^2 \, dx = \frac{b^3-a^3}{3}$ 。

详细步骤：

确定积分区间： $a = 1$ ， $b = 3$
代入公式： $\int_1^3 x^2 \, dx = \frac{3^3-1^3}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}$

答案： $\int_1^3 x^2 \, dx = \frac{26}{3}$

练习 3

验证函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分结果，并解释这个结果在几何上的意义。

参考答案

解题思路：先计算积分值，然后从几何角度解释结果。

详细步骤：

计算积分： $\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1^3-0^3}{3} = \frac{1}{3}$
几何解释：函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上形成一个曲边梯形，底边长为 1，高度从 0 变化到 1，面积为 $\frac{1}{3}$

答案： $\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$

几何意义：这个积分值表示函数 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上与 x 轴围成的面积，正好是 $\frac{1}{3}$ 。