第二类换元法（三角换元）

第二类换元法主要用于处理含根式的积分。

适用情况

基本换元

例子

例子 1：$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

解：

• 设 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$
• $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\cos t} \cos t dt = \int dt = t + C = \arcsin x + C$

例子 2：$\int \frac{1}{1 + x^2} dx$

解：

• 设 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t dt$
• $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \int \frac{1}{1 + \tan^2 t} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sec^2 t} \sec^2 t dt = \int dt = t + C = \arctan x + C$