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一元函数积分学

积分技巧

直接积分法

适用情况

适用情况：被积函数是基本函数的线性组合

基本步骤

  1. 将被积函数分解为基本函数的线性组合
  2. 利用积分的线性性质分别积分
  3. 合并结果

例子

例子：∫(2x3−3x2+1)dx\int (2x^3 - 3x^2 + 1) dx

解：

  • ∫2x3dx=24x4=12x4\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4
  • ∫−3x2dx=−x3\int -3x^2 dx = -x^3
  • ∫1dx=x\int 1 dx = x
  • 所以 ∫(2x3−3x2+1)dx=12x4−x3+x+C\int (2x^3 - 3x^2 + 1) dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C

凑微分法

适用情况

适用情况：被积函数可以写成 f(g(x))g′(x)f(g(x))g'(x) 的形式

基本步骤

  1. 识别被积函数中的复合函数部分
  2. 设 u=g(x)u = g(x)，计算 du=g′(x)dxdu = g'(x)dx
  3. 将积分转化为 ∫f(u)du\int f(u) du 的形式
  4. 积分后回代

例子

例子：∫xex2dx\int x e^{x^2} dx

解：

  1. 设 u=x2u = x^2，则 du=2xdxdu = 2x dx
  2. ∫xex2dx=12∫eudu=12eu+C=12ex2+C\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

常见凑微分形式

  1. ∫f(ax+b)dx\int f(ax + b) dx：设 u=ax+bu = ax + b
  2. ∫xf(x2)dx\int x f(x^2) dx：设 u=x2u = x^2
  3. ∫eaxdx\int e^{ax} dx：设 u=axu = ax
  4. ∫f′(x)f(x)dx\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx：设 u=f(x)u = f(x)

三角恒等变换

适用情况

适用情况：被积函数包含三角函数

常用恒等式

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
  2. cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
  3. sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x
  4. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

例子

例子：∫sin⁡2xdx\int \sin^2 x dx

解：

  1. 使用恒等式 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
  2. ∫sin⁡2xdx=∫1−cos⁡2x2dx=12x−14sin⁡2x+C\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C

部分分式分解

适用情况

适用情况：被积函数是有理函数（多项式除以多项式）

基本步骤

  1. 将有理函数分解为部分分式
  2. 分别积分每个部分分式
  3. 合并结果

例子

例子：∫1x2−1dx\int \frac{1}{x^2 - 1} dx

解：

  1. 1x2−1=1(x−1)(x+1)=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})
  2. ∫1x2−1dx=12(ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣)+C=12ln⁡∣x−1x+1∣+C\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2}(\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}| + C

积分技巧总结

1. 观察法

  • 观察被积函数的结构
  • 寻找已知的积分公式
  • 尝试简单的变量替换

2. 分解法

  • 将复杂函数分解为简单函数
  • 利用积分的线性性质
  • 分别积分各个部分

3. 变量替换法

  • 选择合适的变量替换
  • 简化被积函数的形式
  • 注意回代时的计算

4. 恒等变换法

  • 使用三角恒等式
  • 使用代数恒等式
  • 将复杂函数转化为简单函数

常见积分技巧错误

1. 变量替换错误

错误：忘记回代 正确：积分后必须回代原变量

错误：变量替换不当 正确：选择能简化被积函数的替换

2. 积分公式错误

错误：盲目使用积分公式 正确：先分析被积函数的特点

错误：忘记积分常数 正确：不定积分必须包含积分常数

3. 计算错误

错误：计算过程中的代数错误 正确：仔细检查每一步的计算

练习题

练习 1

使用直接积分法计算 ∫(3x2−2x+1)dx\int (3x^2 - 2x + 1) dx。

参考答案

解题思路： 使用线性性质和基本积分公式。

详细步骤：

  1. ∫3x2dx=3⋅x33=x3\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
  2. ∫−2xdx=−2⋅x22=−x2\int -2x dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2
  3. ∫1dx=x\int 1 dx = x
  4. 所以 ∫(3x2−2x+1)dx=x3−x2+x+C\int (3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C

答案：x3−x2+x+Cx^3 - x^2 + x + C

练习 2

使用凑微分法计算 ∫xex2dx\int x e^{x^2} dx。

参考答案

解题思路： 设 u=x2u = x^2，然后使用凑微分法。

详细步骤：

  1. 设 u=x2u = x^2，则 du=2xdxdu = 2x dx，所以 dx=du2xdx = \frac{du}{2x}
  2. ∫xex2dx=∫xeu⋅du2x=12∫eudu\int x e^{x^2} dx = \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^u du
  3. 12∫eudu=12eu+C=12ex2+C\frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

答案：12ex2+C\frac{1}{2}e^{x^2} + C

练习 3

使用三角恒等变换计算 ∫cos⁡2xdx\int \cos^2 x dx。

参考答案

解题思路： 使用恒等式 cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}。

详细步骤：

  1. 使用恒等式：cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
  2. ∫cos⁡2xdx=∫1+cos⁡2x2dx=12∫(1+cos⁡2x)dx\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx
  3. 12∫(1+cos⁡2x)dx=12(x+12sin⁡2x)+C=x2+sin⁡2x4+C\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

答案：x2+sin⁡2x4+C\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

练习 4

计算 ∫1x2+1dx\int \frac{1}{x^2 + 1} dx。

参考答案

解题思路： 使用反三角函数积分公式。

详细步骤：

  1. 使用公式：∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C
  2. 这里被积函数就是 11+x2\frac{1}{1 + x^2} 的形式

答案：arctan⁡x+C\arctan x + C

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