线性性质

线性性质是定积分最基本的性质之一。

基本线性性质

定理 1

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$k$ 为常数，则：

1. $\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
2. $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$

证明

利用积分的线性性质和极限的线性性质即可证明。

应用例子

例子：计算 $\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx$

解：

• $\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx = 2\int_0^1 x^2 dx + 3\int_0^1 x dx$
• $= 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}$

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练习题

练习 1

利用线性性质计算 $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx$。

参考答案

解题思路：利用积分的线性性质，将积分分解为三个简单积分的和。

详细步骤：

1. $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx = 3\int_0^1 x^2 dx + 2\int_0^1 x dx + \int_0^1 1 dx$
2. $= 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

答案：$3$

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