收敛性判别法

收敛性判别法是判断无穷级数是否收敛的重要工具。不同类型的级数需要不同的判别方法。

主要内容

本部分包含以下收敛性判别法：

正项级数判别法

1. 比较判别法：通过与已知级数比较判断收敛性
2. 比值判别法：通过相邻项比值判断收敛性（达朗贝尔判别法）
3. 根值判别法：通过 $n$ 次根判断收敛性（柯西判别法）
4. 积分判别法：通过积分判断级数收敛性

交错级数判别法

5. 莱布尼茨判别法：判断交错级数收敛性的方法

任意项级数判别法

6. 绝对收敛与条件收敛：判断任意项级数的收敛性

判别法的选择策略

选择判别法的步骤：

1. 检查必要条件：首先检查 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，如果不满足则级数发散

2. 判断级数类型：

   • 正项级数：使用正项级数判别法
   • 交错级数：尝试莱布尼茨判别法
   • 任意项级数：先判断绝对收敛

3. 选择具体判别法：

   • 比值判别法：适用于包含阶乘、幂次的级数
   • 根值判别法：适用于包含 $n$ 次幂的级数
   • 比较判别法：与已知级数比较
   • 积分判别法：通项可表示为连续函数时

4. 特殊情况：

   • 几何级数：直接使用公式
   • $p$ 级数：记住收敛条件（$p > 1$）
   • 调和级数：记住发散

学习建议

• 先学习正项级数判别法，它们是基础
• 理解每种判别法的适用情况和局限性
• 通过大量练习掌握判别法的选择和使用
• 注意判别法的失效情况（如 $\rho = 1$ 时）

章节

• 比较判别法
• 比值判别法
• 根值判别法
• 积分判别法
• 莱布尼茨判别法
• 绝对收敛与条件收敛

上一章节 无穷级数的基本概念 学习无穷级数的定义、收敛性判别和基本性质。 下一章节 几何级数 学习几何级数的定义、收敛性及其应用。