收敛性判别法

收敛性判别法是判断无穷级数是否收敛的重要工具。不同类型的级数需要不同的判别方法。

正项级数判别法

比较判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都是正项级数，且 $a_n \leq b_n$（$n$ 充分大时），则：

1. 如果 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛（convergence），则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence）
2. 如果 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散（divergence），则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散（divergence）

使用技巧：

• 与已知收敛的级数比较（如 $p$ 级数、几何级数）
• 与已知发散的级数比较（如调和级数）

比值判别法（达朗贝尔判别法）

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，且 $a_n > 0$，如果：

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$

则：

1. 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛（convergence）
2. 当 $\rho > 1$ 时，级数发散（divergence）
3. 当 $\rho = 1$ 时，判别法失效

适用情况：

• 通项包含阶乘、幂次等
• 相邻项比值容易计算

根值判别法（柯西判别法）

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，且 $a_n \geq 0$，如果：

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$

则：

1. 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛（convergence）
2. 当 $\rho > 1$ 时，级数发散（divergence）
3. 当 $\rho = 1$ 时，判别法失效

适用情况：

• 通项包含 $n$ 次幂
• 比值判别法失效时

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负，$a_n = f(n)$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与积分 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 同敛散。

适用情况：

• 通项可以表示为连续函数
• 其他判别法难以应用时

交错级数判别法

莱布尼茨判别法

如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足：

1. $a_n \geq 0$（$n = 1, 2, \ldots$）
2. $a_{n+1} \leq a_n$（$n$ 充分大时）
3. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

则级数收敛。

注意：这是充分条件，满足条件的交错级数必收敛。

任意项级数判别法

绝对收敛与条件收敛

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛（convergence），则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛（absolute convergence）。

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence），但 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散（divergence），则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛（conditional convergence）。

定理：绝对收敛的级数必收敛（convergence）。

判别策略：

1. 先判断绝对值级数的收敛性
2. 如果绝对收敛，则原级数收敛
3. 如果绝对值级数发散，再判断原级数是否条件收敛

判别法的选择策略

判别法选择指南

选择判别法的步骤：

1. 检查必要条件：首先检查 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，如果不满足则级数发散

2. 判断级数类型：

   • 正项级数：使用正项级数判别法
   • 交错级数：尝试莱布尼茨判别法
   • 任意项级数：先判断绝对收敛

3. 选择具体判别法：

   • 比值判别法：适用于包含阶乘、幂次的级数
   • 根值判别法：适用于包含 $n$ 次幂的级数
   • 比较判别法：与已知级数比较
   • 积分判别法：通项可表示为连续函数时

4. 特殊情况：

   • 几何级数：直接使用公式
   • $p$ 级数：记住收敛条件（$p > 1$）
   • 调和级数：记住发散

例题

例 1：比值判别法

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 的收敛性。

解： $a_n = \frac{n!}{n^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1$

所以级数收敛。

例 2：莱布尼茨判别法

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 的收敛性。

解： 这是交错级数，$a_n = \frac{1}{n}$

1. $a_n > 0$
2. $a_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = a_n$
3. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

满足莱布尼茨判别法的条件，所以级数收敛。

例 3：比较判别法

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 的收敛性。

解： 由于 $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（$p = 2 > 1$），

所以由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 收敛。

例 4：积分判别法

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

解： 设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$，则 $a_n = f(n)$

计算积分：$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$

积分发散，所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{n}{2^n}$
2. 计算比值：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$
3. 求极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1$
4. 判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

1. 考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
2. 这是 $p$ 级数，$p = 2 > 1$，所以绝对收敛
3. 由于绝对收敛，所以原级数收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$，则 $a_n = f(n)$
2. 计算积分：$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$
3. 积分发散，所以级数发散

答案： 级数发散（divergence）。

练习 4

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 使用比较判别法，与已知收敛的级数进行比较。

详细步骤：

1. 由于 $\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（$p = 2 > 1$）
2. 由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

练习 5

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/2}}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

1. 考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
2. 这是 $p$ 级数，$p = \frac{1}{2} \leq 1$，所以发散
3. 由于绝对值级数发散，需要进一步判断
4. 原级数是交错级数，$a_n = \frac{1}{n^{1/2}}$
5. 检查莱布尼茨判别法条件：
   • $a_n > 0$ ✓
   • $a_{n+1} < a_n$ ✓（因为 $\frac{1}{(n+1)^{1/2}} < \frac{1}{n^{1/2}}$）
   • $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ✓
6. 满足莱布尼茨判别法条件，所以级数收敛

答案： 级数收敛（条件收敛）（conditional convergence）。