无穷级数的基本概念

证明思路： 利用级数收敛的定义和数列极限的性质。

详细证明：

1. 设级数收敛：设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，其和为 $S$，即： $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 其中 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

2. 表示通项：注意到 $a_n = S_n - S_{n-1}$（当 $n \geq 2$ 时）

3. 计算极限： $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S - S = 0$

4. 结论：因此 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

证明完成：如果级数收敛，则其通项必趋于零。

解题思路： 使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{n}{2^n}$
2. 计算比值：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$
3. 求极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1$
4. 判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

解题思路： 先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

1. 考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
2. 这是 $p$ 级数，$p = 2 > 1$，所以绝对收敛
3. 由于绝对收敛，所以原级数收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

解题思路： 使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$，则 $a_n = f(n)$
2. 计算积分：$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$
3. 积分发散，所以级数发散

答案： 级数发散（divergence）。

解题思路： 使用比较判别法，与已知收敛的级数进行比较。

详细步骤：

1. 由于 $\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（$p = 2 > 1$）
2. 由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 收敛

答案： 级数收敛（convergence）。

解题思路： 先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

1. 考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
2. 这是 $p$ 级数，$p = \frac{1}{2} \leq 1$，所以发散
3. 由于绝对值级数发散，需要进一步判断
4. 原级数是交错级数，$a_n = \frac{1}{n^{1/2}}$
5. 检查莱布尼茨判别法条件：
   • $a_n > 0$ ✓
   • $a_{n+1} < a_n$ ✓（因为 $\frac{1}{(n+1)^{1/2}} < \frac{1}{n^{1/2}}$）
   • $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ✓
6. 满足莱布尼茨判别法条件，所以级数收敛

答案： 级数收敛（条件收敛）（conditional convergence）。