p级数与调和级数

$p$ 级数

定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 称为 $p$ 级数。

收敛性

• 当 $p > 1$ 时，级数收敛
• 当 $p \leq 1$ 时，级数发散

证明

使用积分判别法：

设 $f(x) = \frac{1}{x^p}$，则 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负。

积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 的敛散性：

当 $p \neq 1$ 时： $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \big|_1^{+\infty}$

• 当 $p > 1$ 时，积分收敛
• 当 $p < 1$ 时，积分发散

当 $p = 1$ 时： $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty$

所以积分发散。

例题

例 1：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的收敛性。

解： 这是 $p$ 级数，$p = 2 > 1$

所以级数收敛。

例 2：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的收敛性。

解： 这是 $p$ 级数，$p = 3 > 1$

所以级数收敛。

例 3：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的收敛性。

解： 这是 $p$ 级数，$p = \frac{1}{2} \leq 1$

所以级数发散。

调和级数

定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 称为调和级数。

收敛性

调和级数是发散的。

证明

调和级数是 $p$ 级数的特殊情况，$p = 1 \leq 1$，所以发散。

也可以用积分判别法证明：

$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty$

积分发散，所以级数发散。

调和级数发散的其他证明

方法一：分组法

将调和级数按如下方式分组：

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots$

$> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

$= 1 + \frac{1}{2} \times \infty = +\infty$

所以调和级数发散。

方法二：比较法

由于 $\frac{1}{n} \geq \frac{1}{n+1}$，所以：

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$

而 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 只差一个常数项，所以如果 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 也收敛，这与调和级数发散矛盾。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 是 $p$ 级数
2. 确定 $p$ 值：$p = 3$
3. 判断收敛性：$p = 3 > 1$，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 是 $p$ 级数
2. 确定 $p$ 值：$p = 4$
3. 判断收敛性：$p = 4 > 1$，所以级数收敛

答案： 级数收敛。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ 是 $p$ 级数
2. 确定 $p$ 值：$p = \frac{1}{2}$
3. 判断收敛性：$p = \frac{1}{2} \leq 1$，所以级数发散

答案： 级数发散。

练习 4

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是调和级数，是 $p$ 级数的特殊情况。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数
2. 确定 $p$ 值：$p = 1$
3. 判断收敛性：$p = 1 \leq 1$，所以级数发散

答案： 级数发散。

练习 5

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}}$ 的收敛性。

参考答案

解题思路： 这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

1. 识别级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}}$ 是 $p$ 级数
2. 确定 $p$ 值：$p = 1.5$
3. 判断收敛性：$p = 1.5 > 1$，所以级数收敛

答案： 级数收敛。